Autor Tema: Probar igualdad trigonométrica

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03 Abril, 2007, 02:31 am
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lucasn10

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Tengo una igualdad trigonométrica que no me sale   ;D

f(x)=tg(x) , comprobar que: f(2x)=\( \displaystyle\frac{2f(x)}{1-[f(x)]^2} \)

lo saqué del Cálculo diferencial e integral de Piskunov.

Desde  ya muchas gracias.

03 Abril, 2007, 02:51 am
Respuesta #1

Ked

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Se me ocurren dos formas de demostrarlo:

1) La clásica
Se trata de "jugar" con las identidades trigonométricas, para llegar a lo que buscas. Es decir, escribir \( \displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) y usar cosas como \( \displaystyle \sin^2x+\cos^2x = 1 \)

2) Con cálculo
La cosa es así. Si tienes dos funciones cuyas derivadas son iguales, y además coinciden en un punto CUALQUIERA, entonces las funciones son iguales.
En este caso se podría aplicar así:
\( f'(2x) = 2f'(x) \) (por regla de la cadena).
Por lo tanto, derivando en \( \displaystyle \frac{2f(x)}{1- [f(x)]^2} \), vas a obtener algo que *debería* coincidir con \( f'(2x) = 2f'(x) \) (si no lo obtienes, entonces la identidad es incorrecta).
Suponiendo que llegues a eso, ahora faltaría evaluar las funciones en un punto cualquiera, por ejemplo en x=0.
\( f(2\cdot0) = \tan 0 = 0 \)
\( \displaystyle \frac{2f(0)}{1-[f(0)]^2} = 0 \)

Por lo tanto, si consigues demostrar que sus derivadas sean iguales, las funciones serán iguales y habrás probado la identidad.

03 Abril, 2007, 07:14 am
Respuesta #2

EverST

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  • "Vaya curiosidad... eso del tiempo..."
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Bueno, con la "forma clásica" de Ked sale en tres pasos como mucho... Y más corta aún si sabes a cuánto equivale la tangente de un ángulo doble en función del ángulo....

Saludos

04 Mayo, 2007, 04:19 am
Respuesta #3

jfvc

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Hola:
leí de casualidad la respuesta a esta consulta y me queda una duda.
Yo sé que si dos funciones tienen igual derivada entonces difieren en una constante, es decir

si \( f(x) \) y \( g(x) \) son tales que \( f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) \), entonces
\( g(x)=f(x)+C \); donde \( C  \)es una constante
quisiera que me aclara porque afirma que \( f \) y \( g \) son iguales ¿tiene algo que ver que sus derivadas concidan en un punto?.

la respuesta está en
http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=6017.msg25397#msg25397

04 Mayo, 2007, 04:33 am
Respuesta #4

aladan

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Hola

Claro que tiene que ver el hecho de que coincidan en en punto, es decir, tu razonamiento es correcto, dos funciones con derivadas iguales o son iguales( cuando coinciden en un punto cualquiera) o difieren en una constante, en cuyo caso es imposible coincidan en punto alguno.
Saludos
Siempre a vuestra disposición

04 Mayo, 2007, 04:37 am
Respuesta #5

EnRlquE

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Hola, si tienes que dos funciones \( f,g:I\rightarrow\mathbb{R} \), tienes la misma derivada en \( I \), \( f'(x)=g'(x) \) para todo \( x \) en \( I \), entonces como tu dices ocurre que \( f(x)-g(x)=c\dots(\alpha) \) para todo \( x \) en \( I \), por ejemplo si las funciones estan dadas por \( f(x)=x^{2} \) y \( g(x)=x^{2}+5 \) (ojo! que sus derivadas coinciden en "todos" los puntos del dominio sin embargo las funciones son diferentes)

En el problema se concluía que las funciones son iguales, por que además de poseer la misma derivada coinciden en un punto, digamos \( x_{0} \), ya que entonces se tiene que \( f(x_{0})=g(x_{0}) \), luego de \( (\alpha) \) se tiene que \( c=f(x_{0})-g(x_{0})=0 \), por tanto las funciones \( f \) y \( g \) son iguales.

Saludos.

04 Mayo, 2007, 04:45 am
Respuesta #6

jfvc

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