Autor Tema: Problema sobre vectores

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21 Abril, 2007, 02:26 am
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tromayaya

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Hola amigosss!!!!!  ;)

Mirad este problema va de vectores, a ver si me lo podeis solucionar porque no me saleee :banghead: :banghead: :banghead: :banghead:

Dice así:

Halla los tres vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son: (0,0) (3,1) (-1,4)

Si pudieseis explicármelo lo mejor que podáis y que lo pueda entender bien mejor que mejor... :D

Parece ser que se puede hacer con ecuaciones o con el baricentro...


21 Abril, 2007, 02:47 am
Respuesta #1

J. H. Stgo

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Sean \( $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ \) y \( $(x_{3}, y_{3})$ \) los tres vértices buscados. De la relación para el punto de medio de un segmento tenemos que las componentes de los vértices deben satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones:
\(
\begin{eqnarray}
\frac{x_{1} + x_{2}}{2} &=& 0\\
\frac{y_{1} + y_{2}}{2} &=& 0\\
\frac{x_{2} + x_{3}}{2} &=& 3\\
\frac{y_{2} + y_{3}}{2} &=& 1\\
\frac{x_{3} + x_{1}}{2} &=& -1\\
\frac{y_{3} + y_{1}}{2} &=& 4.
\end{eqnarray}
 \)

21 Abril, 2007, 04:18 am
Respuesta #2

EnRlquE

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Hola aquí te  mando una respuesta un poco más geométrica.

Es fácil comprobar que parte de la mediana de un triángulo (digamos \( \Delta ABC \)) es la mediana del triángulo formado al unir los puntos medios del \( \Delta BBC \).

Sean \( a'=(x_{1},y_{1}) \) , \( b'=(x_{2},y_{2}) \) y \( c'=(x_{3},y_{3}) \) los puntos medios correspondientes a sus respectivos vertices opuestos \( A,B \) y \( C \).

Luego el punto A estará determinado por los puntos \( a' \) y \( p_{1} \), donde \( p_{1} \) es el punto medio de \( \overline{b'c'} \), esto es \( p_{1}=(x_{2}+x_{3},y_{2}+y_{3})/2 \), luego el vértice \( A \) estará dado por \( A=a'+2(p_{1}-a')=2p-a' \) (te aconsejo que lo veas como vectores), entonces \( A=(x_{2}+x_{3},y_{2}+y_{3})-(x_{1},y_{1})=(x_{2}+x_{3}-x_{1},y_{2}+y_{3}-y_{1})  \). Similarmente se tiene que \( B=(x_{1}+x_{3}-x_{2},y_{1}+y_{3}-y_{2}) \) y \( C=(x_{1}+x_{2}-x_{3},y_{1}+y_{2}-y_{3}) \).

Sólo te queda reemplazar tus valores en el resultado obtenido, (tú eliges \( a',b' \) y \( c' \)  ;D).

Saludos.

21 Abril, 2007, 01:05 pm
Respuesta #3

tromayaya

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nu lo entiendo  :'(

21 Abril, 2007, 08:58 pm
Respuesta #4

aladan

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Hola

La solución que proporciona   J. H. Santiago esta basada en la relación existente entre las coordenadas de dos puntos cualesquiera \( A(x_a,y_a) \), \( B(x_b,y_b) \) y untercero \( M(x_m,y_m) \) situado en el segmento AB equidistante de A y B:

                             \( x_m=\displaystyle\frac{x_a+x_b}{2} \)

                              \( y_m=\displaystyle\frac{y_a+y_b}{2} \)

Los datos que tienes, coordenadas de los puntos medios de los tres lados del triángulo, los usa relacionando esos valores con los correspondientes de los vértices del triángulo. A partir de lo que él ha hecho, fijate que puedes construir dos sistemas de 3 ecuaciones con 3 incognitas:

Con las ecuaciones (1), (3) y (5), tienes:

\( x_1+x_2=0 \)
\( x_2+x_3=6 \)
\( x_1+x_3=-2 \)

Con las restantes, tienes:

\( y_1+y_2=0\\y_2+y_3=2\\y_1+y_3=8 \)

Resuelves estos sistemas y tienes las coordenadas de los vértices de tu triángulo.

Saludos
Siempre a vuestra disposición

21 Abril, 2007, 09:30 pm
Respuesta #5

EnRlquE

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Hola, para que entiendas mi solución trata de hacer un dibujo y sigue la ideas que te indico. Cualquier duda acerca de algún paso en particular pregunta  ;D.

Saludos.