Autor Tema: Demostrar por inducción

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02 Diciembre, 2011, 03:43 am
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resident91

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Hola chicos , tengo el siguiente problemilla :

Demuestre usando inducción que para todo "n" en los naturales se cumple :

    \( \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k^+^1}{k} \)

espero que me puedan ayudar
Un saludo

02 Diciembre, 2011, 05:59 am
Respuesta #1

Jorge klan

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Hola

Para \( n=1 \) se tiene que \( \dfrac{1}{2}=\displaystyle\sum_{k=2}^{2}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{2}\frac{(-1)^k^+^1}{k}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \).

Ahora supongamos que es verdadero para \( n \) y notemos que

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2n+2}\frac{(-1)^k^+^1}{k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k^+^1}{k}+\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+2} \)

aplicando hipótesis inductiva, nos queda que

\( \begin{array}{rcl}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n+2}\frac{(-1)^k^+^1}{k}&=&\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}+\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+2}\\[5mm]
&=&\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n+1}\frac{1}{k}-\dfrac{1}{2n+2}\\[5mm]
&=&\displaystyle\sum_{k=n+2}^{2n+1}\frac{1}{k}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{2n+2}\end{array}
 \)

suma los últimos dos términos y acomoda la suma para concluir (notarás que te queda el último término de la sumatoria).


Saludos

02 Diciembre, 2011, 11:37 pm
Respuesta #2

resident91

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Hola que tal , me ha quedado claro el ejercicio , muchas gracias de verdad , sabes que tengo un problema con una sucesion definida, necesito hacer algo similar , demostrar mediante el procedimiento inductivo  , no se si me puedas ayudar tal vez, que puedo hacer en este caso


\( Sea\ A_0=1,\ A_1=2,\ A_n=A_n_-_1 + A_n_-_2\ con\  n\geq2.\
Dem\ que\ A_3_k_+_1\ es\ par\  \forall\ {k}\ \in{N} \)
Me he complicado un poco, mas que nada por la condicion que me han dado , ojala me puedas echar una mano,
Saludos

04 Diciembre, 2011, 03:31 am
Respuesta #3

Jorge klan

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Me he complicado un poco, más que nada por la condición que me han dado

Bueno, únicamente debes seguir por recurrencia hasta que puedas aplicar la hipótesis inductiva. Nota que

\( \begin{array}{rcl}A_{3(k+1)+1}&=&A_{3k+4}\\
&=&A_{3k+3}+A_{3k+2}\\
&=&A_{3k+2}+A_{3k+1}+A_{3k+1}+A_{3k}\\
&=&A_{3k+1}+A_{3k}+A_{3k+1}+A_{3k+1}+A_{3k}\\
&=&2A_{3k}+3A_{3k+1}\end{array} \)

aplica la hipótesis inductiva (\( A_{3k+1} \) es par) y concluye.

Saludos

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