[sanmath]

Hola necesito ayuda con este ejercicio no sé como plantearlo, se me vienen ideas de utilizar probabilidad condicional pero nada más.
Estamos interesados en saber cuál de dos análisis\(  A  \) y \( B \) es
mejor para el diagnóstico de una determinada enfermedad, de la cual sabemos
que la presentan un \( 10\% \) de individuos de la población. El porcentaje
de resultados falsos positivos del análisis A es del \( 15\% \) y el de \( B \) es del
\( 22 \% \). El porcentaje de falsos negativos de \( A \) es del \( 7\% \) y de \( B \) es del \( 3\% \).
¿Cuál es la probabilidad de acertar en el diagnóstico con cada método?
saludos

[pepito]

se me vienen ideas de utilizar probabilidad condicional

Sin duda. Llamemos \( + \) al evento "el resultado del análisis es positivo", \( - \) a "el resultado del análisis es negativo", \( E \) a "el paciente está enfermo" y \( S \) a "el paciente está sano". Primero hay que observar que

\( P(E)=P(E|+)P(+)+P(E|-)P(-)=(1-P(S|+))P(+)+P(E|-)(1-P(+)) \)

de donde se despeja

\( P(+)=\dfrac{P(E)-P(E|-)}{1-P(S|+)-P(E|-)} \)

Cuando se efectúa un análisis, ocurre una y sólo una de las siguientes posibilidades: que el paciente esté enfermo y el resultado sea positivo, que el paciente esté enfermo y el resultado sea negativo, que el paciente esté sano y el resutado sea negativo, o que el paciente esté sano y el resultado sea positivo. Entonces, para cada método, la probabilidad de acertar en el diagnóstico es

\( P(E\cap +)+P(S\cap -)=P(E|+)P(+)+P(S|-)P(-)=\\\\(1-P(S|+))P(+)+(1-P(E|-))(1-P(+)) \)

Obs: estoy interpretando la expresión "porcentaje de resultados falsos positivos" como "porcentaje de los resultados positivos que están equivocados". Cuidado con esto porque ese porcentaje no es la probabilidad de obtener un falso positivo.

[sanmath]

Hola pepito, no me ha quedado muy claro esta parte me podrías explicar por favor:

\( P(E)=P(E|+)P(+)+P(E|-)P(-)=(1-P(S|+))P(+)+P(E|-)(1-P(+)) \)

saludos

[pepito]

La primera igualdad se debe al teorema de probabilidad total, y la segunda a que la probabilidad del complemento de un evento es igual a uno menos la probabilidad de dicho evento.

[sanmath]

Hola pepito,  ahora para hallar los respectivos valores de las probabilidades, está bien esto?
como el porcentaje de resultados falsos positivos del análisis A es del  15% entonces \( 1-P(+)=0,15? \) y \( 1-P(-)=0,07 \), esto por la observación , ahora no estoy seguro de como obtener \( P(E|+). \)

Y en la parte

\( P(E\cap +)+P(S\cap -)=P(E|+)P(+)+P(S|-)P(-)=\\\\(1-P(S|+))P(+)+(1-P(E|-))(1-P(+)) \)

Como sucede solo uno de los cuatro eventos que mencionas, no deberías sumar también \( P(E\cap{-})+P(S\cap{+}) \)
saludos

[pepito]

Hola pepito,  ahora para hallar los respectivos valores de las probabilidades, está bien esto?
como el porcentaje de resultados falsos positivos del análisis A es del  15% entonces \( 1-P(+)=0,15? \) y \( 1-P(-)=0,07 \), esto por la observación , ahora no estoy seguro de como obtener \( P(E|+). \)

Esas dos igualdades son contradictorias, dado que, por cómo están definidos los eventos, es P(+)=1-P(-). Se tendría que 0,15=1-P(+)=1-(1-P(-))=1-0,07=0,93. Leé la observación y las definiciones de los eventos con mucho más cuidado.

Y en la parte

\( P(E\cap +)+P(S\cap -)=P(E|+)P(+)+P(S|-)P(-)=\\\\(1-P(S|+))P(+)+(1-P(E|-))(1-P(+)) \)

Como sucede solo uno de los cuatro eventos que mencionas, no deberías sumar también \( P(E\cap{-})+P(S\cap{+}) \)
saludos

Si sumo también esas dos probabilidades, el resultado va a ser inevitablemente 1. Parte del ejercicio consiste en darse cuenta de por qué las probabilidades que hay que sumar (más allá de cómo se calcula cada una de ellas) son esas dos que sumo.

Fijate si conseguís resolverlo; si no, preguntá de nuevo. En mi respuesta ya tenés el resultado, lo que te queda como ejercicio es identificar con cuál de los datos del enunciado se corresponde cada una de las probabilidades que aparecen en las fórmulas.

[sanmath]

hola pepito, ya entendí porque sumas solo esas dos probabilidades,  pues la pregunta es :
¿Cuál es la probabilidad de acertar en el diagnóstico con cada método?

saludos

[pepito]

hehehe bueno, lo que te decía es que deberías interpretar del enunciado (y la observación) que:

Con el método A

P(E)=0,1

P(S|+)=0,15

P(E|-)=0,07

Con el método B

P(E)=0,1

P(S|+)=0,22

P(E|-)=0,03

Hacé las cuentas y decime vos.