Autor Tema: Interpretación física de la Transformada de Fourier

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25 Noviembre, 2011, 01:44 am
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Hasclepio

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Hola

Estoy estudiando análisis de Fourier y primero vimos las series, que lo entendí perfectamente, tanto el modo de operar y el significado físico, considerando una función periódica y expresándola en serie de F.

Pero ahora nos hemos metido con la transformada y  me estoy perdiendo conceptualmente  ???

Sé operar con ella, hallar transformadas y demás, pero no entiendo el significado de algunas cosas.

Por ejemplo, teniendo una función en el dominio del tiempo, al hallar su transformada estamos en el dominio de la frecuencia (sé que ahora, matemáticamente es una función de omega), pero ¿qué significa esta frecuencia en la señal f(t) que hallé su transformada?. Al pasar a transformada de Fourier es una especie de extensión a funciones aperiódicas de la serie de Fourier... pero yo no lo veo claro conceptualmente.

Si por favor alguien me puede echar una mano, así, conceptualmente de palabras para ver de un modo más "físico" y aplicado la transformada se lo agradecería.

Leyendo veo que tiene que ver con la representación en forma discreta de los coeficientes de la serie de Fourier para un periodo infinito, pero me parece todo muy artificial  ???

Un saludo  y muchas gracias

25 Noviembre, 2011, 02:17 am
Respuesta #1

HernanV

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Hola,

No es artificial, para nada. Hay señales que no tienen períodos finitos, o es más sencillo, en ocasiones, considerarlas con período infinito.

Cuando estudias una función en el dominio del tiempo, digamos f(t), puedes estudiar sus cambios (o cómo afectará esto a tu sistema) y su comportamiento en general, siempre sabiendo cómo responderá en términos de tiempo. Cuando pasas al dominio de frecuencia, evidentemente el fenómeno "físico" es el mismo, porque lo que se está analizando es lo mismo. Sólo que ahora obtendrás respuestas en términos de frecuencia y no de tiempo.

El ejemplo clásico es el de un circuito RLC serie alimentado por una fuente de tensión alterna. En general (la electrónica no es mi especialidad) las transformadas de Fourier se utilizan para analizar circuitos o sistemas electrónicos, de los cuáles se puede obtener una ecuación diferencial que rige su comportamiento a partir de la señal de entrada/salida, con lo que se llama una función de transferencia. Esas ecuaciones diferenciales, en general, no son muy "amigables" como para resolverlas por métodos "convencionales", y ahí es donde aparece la transformada de Fourier (o la de Laplace).

En resumen, siempre podrás analizar tu problema desde el dominio del tiempo o desde el dominio de la frecuencia. Dependerá exclusivamente de las condiciones del mismo cuál te convenga usar. Si estás buscando, por ejemplo, la frecuencia de resonancia de un circuito lo haces en el dominio de frecuencia. Si estas buscando cuándo un capacitor llega a su estado máximo de carga desde un instante inicial (que suponemos estaba descargado) o haces en el dominio del tiempo.

Saludos :).
\( \displaystyle\vec{\nabla}\times\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=\vec{0} \)

25 Noviembre, 2011, 02:26 am
Respuesta #2

Hasclepio

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Hola

Muchísimas gracias por tus palabras. Me están sirviendo de mucho.

El análisis de Fourier lo estamos aplicando a multitud de cosas, la electrónica muy poco (aunque comprendo lo que dices, ya que se usa mucho en teoría de sistemas, tipo lo de Oppenheim), pero también las estamos aplicando a estructuras, resonancia, geometría de masas, excitaciones periódicas de cualquier naturaleza...

Es que lo que no veo bien es eso de tener una función del tiempo y al hallar su transformada "tenerla" en el dominio de la frecuencia.

Es decir, comprendo que la transformada es una extensión a funciones aperiódicas de la serie de Fourier. Pero no entiendo bien qué estoy haciendo. La frecuencia de la transformada en una señal f(t) del tiempo ¿qué representa en la función inicial?  ???

Leyendo llego a algo muy abstracto, y es que se me plantea como una "curva" formada por los coeficientes de la serie de Fourier cuando el periodo de la función se hace infinito, pero no logro hacerme a la idea de para qué todo esto ni a dónde se quiere llegar.

Puede ser también porque al representar la transformada la información de los coeficientes de la serie Fourier de una función (en un periodo), y ser estos únicos (porque están expresados como combinación lineal de una base tringonométrica) la f(t) queda caracterizada por F(W)... son este tipo de cosas las que me siento un poco perdido

saludos

25 Noviembre, 2011, 02:37 am
Respuesta #3

HernanV

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El análisis de Fourier lo estamos aplicando a multitud de cosas, la electrónica muy poco (aunque comprendo lo que dices, ya que se usa mucho en teoría de sistemas, tipo lo de Oppenheim), pero también las estamos aplicando a estructuras, resonancia, geometría de masas, excitaciones periódicas de cualquier naturaleza...
El análisis de Fourier se aplica a cualquier cosa que tenga ecuaciones diferenciales (y a más cosas también). O sea, no es limitado, sino todo lo contrario.

Es que lo que no veo bien es eso de tener una función del tiempo y al hallar su transformada "tenerla" en el dominio de la frecuencia.

Es decir, comprendo que la transformada es una extensión a funciones aperiódicas de la serie de Fourier. Pero no entiendo bien qué estoy haciendo. La frecuencia de la transformada en una señal f(t) del tiempo ¿qué representa en la función inicial?  ???
Representa la respuesta en frecuencia de esa señal a través de un sistema cualquiera. O sea, la transformada te describe cómo esa señal afectará a tu sistema al variar la frecuencia. Eso es pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Lo que te comenté antes: analizas el mismo fenómeno, pero desde otro punto de vista. Los dominios de tiempo y de frecuencia son dos mundos distintos, pero ambos explican el mismo fenómeno.

Yo creo que lo que más raro te parece, es el tema del período infinito. No se si lo sabes o no, pero en muchos fenómenos naturales aparece, por ejemplo, la función exponencial tan conocida \( \displaystyle e^{-t} \), o sino más conocida aún \( \displaystyle e^{-t^{2}} \). Esta función claramente no tiene un período finito y describe una gran cantidad de fenómenos. También posee transformada de Fourier, la cual te describirá esos mismos fenómenos pero en términos de la frecuencia.

¿Se entendió un poco mejor?.

Saludos :).
\( \displaystyle\vec{\nabla}\times\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=\vec{0} \)

24 Junio, 2012, 09:29 pm
Respuesta #4

Piockñec

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Ooooh! Qué interesante!!! Seguid hablando, por favor hahahaha
(P.S: He notado que la transformada se usa para todo, hasta en nicks de foros de matemáticas)