Hola,
Este problema se me ocurre resolverlo por trigonometría, de tal forma que aquí va mi solución:
Consideramos el cuadrado ABCD de lado 1. El enunciado nos dice que desde un punto interior P, PA=PB=PE, por lo tanto trazamos la mediatriz de AB que es el lugar geométrico donde puede estar el punto P, y tras unir B con la intersección de la mediatriz AB, E hallamos de nuevo su mediatriz.
Ahora tenemos el punto P, intersección de las dos mediatrices. Con el T. de Pitágoras hallamos el segmento BE, que resulta \( BE=\dfrac{\sqrt{5}}{2} \), y ahora nos fijamos en el triángulo rectángulo EBH, y recurrimos a trigonometría para hallar el ángulo \( \alpha \) de tal forma que obtenemos \( \alpha=arc tg\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=26.565º \) Por último hallamos el lado PE, mediante trigonometría sabiendo el ángulo \( \alpha \) y el lado GE, la mitad de BE. Así obtenemos: \( PA=PB=PE=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{4}}{cos26.565º}=0.625 \).
Otra forma que se me acaba de ocurrir, no haría falta trigonometría y se basa en el teorema de Tales.
Una vez que hemos hallado el punto P, nos centramos en el triángulo rectángulo BEH, que es semejante al EFG por tener el ángulo recto y \( \alpha \) iguales. Ahora sabiendo esto aplicamos el T. de Tales \( \dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{5}}{4}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{PA}\Rightarrow{PA=PB=PE=\dfrac{5}{8}=0.625} \)
Un saludo!
