Autor Tema: Centro

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15 Noviembre, 2011, 05:51 pm
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Evangelion

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Les agradezco me orienten para mostrar lo siguiente:

Demostrar que \( Z(S_n)=1 \) (el centro es el elemento identidad) para \( n\geq{3} \).

Intente inducciòn pero no tenia idea alguna de que hacer en el paso inductivo, les agradezco su ayuda .

15 Noviembre, 2011, 07:14 pm
Respuesta #1

Jorge klan

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Hola

Bueno, hay más de una demostración pero la más sencilla, a mí parecer, es esto:

Sea \( \sigma\in S_n \) no nulo, luego existe \( i\in \{1,2,\ldots,n\} \) tal que \( \sigma(i)=j\neq i \) (es decir, al menos hay un elemento que no es fijado por \( \sigma \)). Ahora la idea es "construir" un elemento en \( S_n \) de modo que no conmute con \( \sigma \), por ejemplo, puedes considerar \( \tau \) tal que \( \tau(i)=i \) y \( \tau(j)=k \), donde \( k \) es distinto de \( j \) y de \( i \) (nota que tienes derecho a considerarlo así, ya que \( n\geq 3 \)).

Te dejo comprobar entonces que \( (\sigma \circ \tau) (i)\neq (\tau\circ \sigma)(i)  \) y por tanto \( \sigma \circ \tau \neq \tau\circ \sigma \).

Saludos

16 Noviembre, 2011, 06:13 pm
Respuesta #2

Evangelion

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Mil gracias Jorge Klan :)