Autor Tema: La intersección y el cociente vuelve a ser p-Sylow.

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13 Noviembre, 2011, 05:55 pm
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Tanius

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Sea \( G \) un grupo finito y \( H\triangleleft{G} \). Sea \( P \) un p-subgrupo de Sylow de \( G \). Demuestre que \( H\cap{P} \) es un p-subgrupo de Sylow de \( H \) y que \( HP/H \) es un p-subgrupo de Sylow de \( G/H \) (Sugerencia: compare órdenes.)


Como me ayudaron a ver en otro tema, los p-subgrupos de Sylow de un determinado grupo, son los subgrupos de orden \( p^r \) con \( r  \) el mayor natural tal que \( p^r \) divide al orden de dicho grupo.

Es decir, \( |P|=p^n \) con \( n \) el mayor natural tal que \( p^n \) divide a \( |G| \).

Traté de ver el orden de \( H\cap{P} \), que por un lado es \( \displaystyle\dfrac{|H|\cdot{}|P|}{|HP|}=\displaystyle\dfrac{|H|p^n}{|HP|} \), pero de aquí no sé qué concluir. ¿Alguna idea?


El segundo parece ser simple, ya que \( |HP/H|=p^n \). Si \( HP/H \) no fuera p-subgrupo de Sylow de \( G/H \), existiría \( \overline{H} \) tal que \( HP/H\le \overline{H} \le G/H \) y \( |\overline{H}| = p ^r \) con \( r>n \). Luego, por Lagrange, existiría \( m\in{\mathbb{N}} \) tal que \( p^r|H|m=|G| \), es decir, \( p^r \) divide a \( |G| \), lo que es una contradicción.


Gracias de antemano.

13 Noviembre, 2011, 07:22 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Lo que tienes que probar es que p no divide ni al índice de \( P\cap H \) en \( H \) ni al índice de \( HP/H \) en \( G/H \). Calcula esos índices.

13 Noviembre, 2011, 07:23 pm
Respuesta #2

Jorge klan

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Hola

Para la primera parte puedes utilizar el segundo teorema de Sylow (el de la conjugación). Sea \( K \) un \( p \)-subgrupo de Sylow de \( H \), en particular, \( K \) es un \( p \)-subgrupo de \( G \), luego existe \( g\in G \) tal que \( K\leq gPg^{-1} \). Entonces \( K\leq gPg^{-1}\cap H=gPg^{-1}\cap gHg^{-1}=g(P\cap H)g^{-1} \). De este modo se tiene que \( |K|\leq |g(P\cap H)g^{-1}|=|P\cap H| \)... la otra desigualdad es inmediata utilizando el teorema de Lagrange con \( P\cap H \) sobre \( P \) y \( H \).

De la demostración anterior también es inmediata la segunda parte utilizando la famosa igualdad de ordenes que mencionas en tu mensaje.

Saludos

13 Noviembre, 2011, 07:27 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Es mucho más simple que eso: \( |H:H\cap P| = |HP:P| \), y el segundo no es divisible entre p porque es un divisor de \( |G:P| \), que no es divisible entre p.

13 Noviembre, 2011, 07:43 pm
Respuesta #4

Tanius

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Wow, muchísimas gracias por sus respuestas. Me gustaron los dos métodos.


¡Un saludo!  ;D