[Rodrigo]

Hola a todos, en esta ocasión quisiera consultar si existe una mejor manera de resolver el siguiente ejercicio:

"Se colocan los números 1, 2, 3, 4 en un orden aleatorio ¿Cuál es la probabilidad que al menos uno de ellos ocupe su propio lugar?"

El método que utilice fue puramente descriptivo, es decir, escribí las 24 permutaciones posibles y observe cuales eran los casos favorables, sin embargo supongo que existe una forma más efectiva, ya que me pongo a pensar en el caso que fueran los números del 1 al 12 por ejemplo, por eso es que pido la ayuda de quien se interese, como siempre, de antemano GRACIAS!!!

[aladan]

Hola  Rodrigo

Si tienes los primeros \( n \) números naturales, las permutaciones totales, casos posibles, son como sabes \( n! \) los casos favorables para cada natural será, fijado este en su posición el total de las permutaciones del resto de los elementos, es decir \( (n-1)! \)

Saludos

[pepito]

Y eso devolvería probabilidad igual a 1... 

El problema es que estás contando casos repetidos (todos). Por ejemplo, el caso en el que cada uno ocupa su propio lugar, n veces. Para resolver esto hay que aplicar el principio de inclusión - exclusión. Lo que buscamos son permutaciones que no sean desarreglos.

[Rogelio Yoyontzin]

Se puede hacer así:

La probabilidad de que al menos uno ocupe su lugar es igual a 1 menos la probabilidad de que NINGUNO ocupe su lugar.

Asi que calculemos mejor la probabilidad de que ninguno ocupe su lugar.  Asi entonces tenemos que contar el númoero de permutaciones en \( S_4 \) sin puntos fijos (que sería el número de casos favorables).

Una permutación  \( \sigma \in S_4 \) sin puntos fijos puede ser escrita en su descomposición en ciclos ajenos como el producto de dos transposiciones ajenas  o como un \( 4 \)-ciclo.
El número de permutaciones que es el producto de dos transposiciones es igual a \( \frac{1}{2}\frac{4*3}{2}\frac{2*1}{2}=3 \) y el número de \( 4 \) ciclos es igual a \( 4!/4=3!=6 \) así pues el número de permutaciones sin punto fijo en \( S_4 \) es igual a \( 3+6=9 \) y por lo tanto la probabilidad e que una permutacion no fije ningun punto es
\( 9/4!=3/8 \).

Finalmente la probabilidad de que al menos uno quede fijo sería \( 1-3/8=5/8 \).


Corregio :=)

[pepito]

permutaciones sin puto fijo

Bueno, pero en el foro están (implícitamente) prohibidas las malas palabras