[danquiz]

Buenas tengo problemas para hallar la convergencia de la sucesión.
   
Sea a un número fijo. Demuestre que el límite de la sucesión

\( an=\displaystyle\frac{1}{n}\left(\left({a+\displaystyle\frac{1}{n}}\right)^2}+\left({a+\displaystyle\frac{2}{n}}\right)^2}+... +\left({a+\displaystyle\frac{n-1}{n}}\right)^2}\right) \)

es \( a^2+a+\displaystyle\frac{1}{3} \)

al desarrollar los productos,agrupar términos y aplicar L'Hopital el limite me converge a 0 no se si tengo que hacerle un cambio a la sucesión antes de evaluar su limite.

agradezco de corazón la ayuda que me puedan brindar

[Phicar]

Hola danquiz...Imagino que alguna vez has visto una suma de Riemann

Eso no es mas que una suma de rieman y ella converge a

\( \displaystyle\int_{0}^{1} (a+x)^2 dx \)

[danquiz]

Hola Phicar si las eh visto pero no manejo nada bien el procedimiento podrías explicarme como llegas a la

\( \displaystyle\int_{0}^{1} (a+x)^2 dx \)

disculpa la molestia es que mis profesores explican este tipo de cosas por encima  .

agradecería tu ayuda.

[Phicar]

Claro, nota que siempre sumas basicamente lo mismo

si decimos que

\( f(x)=(a+x)^2 \)

y sumamos \( f(1/n)+f(2/n)+....+f((n-1)/n) \) es exactamente lo mismo que tu tienes ahi... solo falta multiplicarlo por el \( \displaystyle\frac{1}{n} \) que seria lo que miden las particiones de la integral...en este caso los limites serian
1 y 0 ya que \( \displaystyle\frac{1-0}{n} \) es lo que tienes

Y cuando llevas todo eso al infinito pues es una de las definiciones de integral...Asi que lo unico que estas haciendo ahi es integrar solo que usando una de las definiciones(pero como es mas practico usar la otra, pues uno no lo ve)

[Gustavo]

Puedes también ver por aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,49479.msg196319.html#msg196319