[danquiz]

Hola tengo un problema con el siguiente ejercicio.

   Sea la sucesión dada por

\( an=\displaystyle\frac{n+1}{n^2 +1}}+\displaystyle\frac{n+2}{n^2 +2}}+\cdots+\displaystyle\frac{n+n}{n^2 +n}} \).

Demuestre que converge y halle su límite.

pero no sé cómo abordar el problema ya que la sucesiones que hasta ahora he hecho van con comas y esta sucesión está representada como una serie y no entiendo.
Apreciaría de su ayuda.

[pepito]

Tené en cuenta estas acotaciones y aplicá el teorema del sándwich:

\( \displaystyle\frac{n+1}{n^2 +1}}+\displaystyle\frac{n+2}{n^2 +2}}+...+\displaystyle\frac{n+n}{n^2 +n}}<\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n+1+n+2+\ldots+n+n\right)=\\\\=\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n\times n+\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)=\displaystyle\frac{\frac32 n^2+\frac12 n}{n^2+1} \)


\( \displaystyle\frac{n+1}{n^2 +1}}+\displaystyle\frac{n+2}{n^2 +2}}+...+\displaystyle\frac{n+n}{n^2 +n}}>\displaystyle\frac{1}{n^2+n}\left(n+1+n+2+\ldots+n+n\right)=\\\\=\displaystyle\frac{1}{n^2+n}\left(n\times n+\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)=\displaystyle\frac{\frac32 n^2+\frac12 n}{n^2+n} \)

[danquiz]

Hola gracias por tu respuesta pero me podrías explicar de donde sale


\( =\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n\times n+\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)=\displaystyle\frac{\frac32 n^2+\frac12 n}{n^2+1} \)

es que no entiendo de donde sale!!

[pepito]

Sólo hay que operar:

\( \displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n\times n+\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n^2+\displaystyle\frac{n^2+n}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n^2+\displaystyle\frac{n^2}{2}+\displaystyle\frac{n}{2}\right)=\\\\=\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(\frac32 n^2+\frac12 n\right)=\displaystyle\frac{\frac32 n^2+\frac12 n}{n^2+1} \)

[danquiz]

Creo que no supe preguntar disculpame la molestia la operacion si la entiendo y la ocotacion por la izquierda y derecha para aplicar el teorema de encaje lo que no tengo claro es como convertiste

\( \left(n+1+n+2+\ldots+n+n\right)=\left(n\times n+\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right) \)

[Tanius]

Sólo es agrupar convenientemente y usar le hecho de que \( 1+2+...+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \)

[danquiz]

ya vi de donde salio muchísimas gracias