Autor Tema: Problema de sucesiones.

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30 Octubre, 2011, 04:57 am
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danquiz

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Hola tengo un problema con el siguiente ejercicio.

   Sea la sucesión dada por

\( an=\displaystyle\frac{n+1}{n^2 +1}}+\displaystyle\frac{n+2}{n^2 +2}}+\cdots+\displaystyle\frac{n+n}{n^2 +n}} \).

Demuestre que converge y halle su límite.

pero no sé cómo abordar el problema ya que la sucesiones que hasta ahora he hecho van con comas y esta sucesión está representada como una serie y no entiendo.
Apreciaría de su ayuda.

30 Octubre, 2011, 09:22 am
Respuesta #1

pepito

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Tené en cuenta estas acotaciones y aplicá el teorema del sándwich:

\( \displaystyle\frac{n+1}{n^2 +1}}+\displaystyle\frac{n+2}{n^2 +2}}+...+\displaystyle\frac{n+n}{n^2 +n}}<\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n+1+n+2+\ldots+n+n\right)=\\\\=\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n\times n+\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)=\displaystyle\frac{\frac32 n^2+\frac12 n}{n^2+1} \)


\( \displaystyle\frac{n+1}{n^2 +1}}+\displaystyle\frac{n+2}{n^2 +2}}+...+\displaystyle\frac{n+n}{n^2 +n}}>\displaystyle\frac{1}{n^2+n}\left(n+1+n+2+\ldots+n+n\right)=\\\\=\displaystyle\frac{1}{n^2+n}\left(n\times n+\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)=\displaystyle\frac{\frac32 n^2+\frac12 n}{n^2+n} \)
"...parecido pero nada que ver"

30 Octubre, 2011, 06:39 pm
Respuesta #2

danquiz

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Hola gracias por tu respuesta pero me podrías explicar de donde sale


\( =\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n\times n+\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)=\displaystyle\frac{\frac32 n^2+\frac12 n}{n^2+1} \)

es que no entiendo de donde sale!!

30 Octubre, 2011, 07:02 pm
Respuesta #3

pepito

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Sólo hay que operar:

\( \displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n\times n+\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n^2+\displaystyle\frac{n^2+n}{2}\right)=\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(n^2+\displaystyle\frac{n^2}{2}+\displaystyle\frac{n}{2}\right)=\\\\=\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\left(\frac32 n^2+\frac12 n\right)=\displaystyle\frac{\frac32 n^2+\frac12 n}{n^2+1} \)
"...parecido pero nada que ver"

30 Octubre, 2011, 07:27 pm
Respuesta #4

danquiz

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Creo que no supe preguntar disculpame la molestia la operacion si la entiendo y la ocotacion por la izquierda y derecha para aplicar el teorema de encaje lo que no tengo claro es como convertiste

\( \left(n+1+n+2+\ldots+n+n\right)=\left(n\times n+\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right) \)

:'(

30 Octubre, 2011, 07:45 pm
Respuesta #5

Tanius

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Sólo es agrupar convenientemente y usar le hecho de que \( 1+2+...+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \)

30 Octubre, 2011, 07:53 pm
Respuesta #6

danquiz

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ya vi de donde salio muchísimas gracias :)