Autor Tema: Punto dentro de un triángulo cualquiera tal que su distancia a sus lados sea mín

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28 Octubre, 2011, 11:46 am
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Hasclepio

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Hola

Si tengo un triángulo  cualquiera y quiero hallar un punto interior P (no valen los vértices ni sobre los lados) tal que la suma de distancias de P a cada lado sea mínima ¿cómo debo proceder con geometría sintética?

Aclaración; es decir: si P es un punto interior del triángulo y a su distancia al lado a, b al lado b y c al lado c, me piden hallar P de tal modo que a+b+c sea mínima


un saludo y muchas gracias

Había resuelto este ejercicio (si miráis fecha...) pero está mal :(

28 Octubre, 2011, 04:33 pm
Respuesta #1

Michel

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Hola Hasciepio.

Creo que el enunciado no es correcto. Eso de su distancia a los lados es mínima  ¿qué significa?

Deberías enviar el enunciado copiado literalmente.

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

25 Diciembre, 2011, 06:54 am
Respuesta #2

Hasclepio

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Hola

Planteé este ejercicio hace meses pero no he sido capaz de resolverlo. Lo único que he encontrado es el teorema del punto de  Fermat a los vértices, pero no es eso lo que me piden.

También he hecho simulaciones ne Geogebra y creo que ese punto no existe para un triángulo cualquiera... así que yo no sé hacerlo.

El problema sí tiene solución, pero por lo visto es rebuscada.

¿Alguna idea? el enunciado está bien, lo he repasado varias veces; simple pero problema complicado

Muchas gracias

25 Diciembre, 2011, 04:56 pm
Respuesta #3

feriva

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Hola, Hasclepio. Así a vista de pájaro, si el punto está casi pegado a un vértice, de manera que la distancia a dos de los lados del triángulo tienda a cero, la suma será igual a la distancia desde ese ángulo al lado opuesto según la perpendicular; y tiene que existir primero esa perpendicularidad tal como se define la distancia de un punto a un recta. Luego parece que el valor tiene que ser -tiene que tender a- la altura principal del triángulo. Pero no tengo papel ahora y lo mismo estoy diciendo una burrada, así que tampoco me hagas mucho caso.


26 Diciembre, 2011, 04:03 pm
Respuesta #4

Hasclepio

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Hola, Hasclepio. Así a vista de pájaro, si el punto está casi pegado a un vértice, de manera que la distancia a dos de los lados del triángulo tienda a cero, la suma será igual a la distancia desde ese ángulo al lado opuesto según la perpendicular; y tiene que existir primero esa perpendicularidad tal como se define la distancia de un punto a un recta. Luego parece que el valor tiene que ser -tiene que tender a- la altura principal del triángulo. Pero no tengo papel ahora y lo mismo estoy diciendo una burrada, así que tampoco me hagas mucho caso.



Por favor, lee el mensaje inicial: con geometría sintética (no tomando límites) y tampoco sirven los vértices (ni tomar "el límite a ellos")

26 Diciembre, 2011, 04:33 pm
Respuesta #5

feriva

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Cita de: Hasclepio link=topic=51148.msg211182#msg211182


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Por favor, lee el mensaje inicial: con geometría sintética (no tomando límites) y tampoco sirven los vértices (ni tomar "el límite a ellos")

Estoy mirándolo y parece que la suma de distancias, para cualquier punto que no esté pegado al vértice del cateto más corto -de un triángulo rectángulo- que se proyecte ortogonalmente sobre el otro lado, nunca puede ser menor que ese cateto; en el caso de un triángulo no rectángulo, entonces, parece que no puede ser menor que la altura. Intenta demostrar que no puede haber una suma menor que ese cateto o esa altura (con coordenadas, desigualdades y trigonometría). Si no la hay, entonces es la suma mínima, ya lo hagas por geometría sintética o no, ese mínimo será independiente del método y cualquier otro será un falso mínimo y el problema estará mal resuleto. Si la hay, pues eso algo te ayudará a seguir buscando el método de resolución.
 
 Saludos. 

26 Diciembre, 2011, 05:35 pm
Respuesta #6

Hasclepio

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Ya he intentado de todo y no encuentro solución. Por eso pido ayuda en el foro, lo planteé hace meses y en mi opinión creo que no tiene solución, pero el profesor dice que sí  ???

26 Diciembre, 2011, 05:54 pm
Respuesta #7

Hasclepio

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Mirad he hecho una simulación con Geogebra.

T da el valor de la suma de las distancias del punto D a los lados del triángulo. Se puede variar el triángulo y el punto en su interior.