http://personales.ya.com/casanchi/mat/paseo0405.pdf
¿Cuatro colores son suficientes?
por
Marta Macho Stadler, Universidad del País Vasco-Euskal
Herriko Unibertsitatea

Hay dos corrientes principales respecto a los conceptos anteriormente descritos:
1. Los escépticos, que afirman que el aspecto de la comprobabilidad es el que
pone en duda la credibilidad de la prueba. Si las pruebas deben ser verificadas,
parece que entonces automáticamente una persona (lo opuesto a una máquina)
debe completar esta tarea, y esto no puede hacerse con la prueba del problema de
los cuatro colores.
Paul Halmos opina que la demostración realizada con
un ordenador tiene la misma credibilidad que si está
hecha por un adivino, las máquinas tienen algunas
propiedades físicas que aún tenemos que entender.
“No puedo aprender nada de la demostración.
La prueba no indica la razón por la que sólo se necesitan
cuatro colores ¿por qué no trece? ¿Qué tiene de
especial el número cuatro?”
De manera similar, Pierre Deligne (medalla Field en1978) opina: “No creo
en una prueba hecha con ordenador. En primer lugar, soy demasiado egocéntrico.
Creo en una demostración si la entiendo, si está clara. Un ordenador puede
también cometer errores, pero es mucho más difícil encontrarlos”.
Tymockzo dice que usar un ordenador para establecer una verdad matemática
es transformar pruebas en experimentos. Afirma que el problema de los cuatro
colores ha sido confirmado a través de un experimento de física teórica, pero no
probado de una manera formal. Aunque se tiene una pequeña idea de lo que el
ordenador está testando, no se tiene el cien por cien de seguridad de lo que se
está haciendo. Esto significa que la naturaleza de los resultados demostrados con
ordenador es del tipo “Simon dice”, donde los matemáticos son invitados a tener
fe y a creerse lo que una criatura superior afirma.
Swart reconcilia esta divergencia entre los teoremas convencionales y no convencionales, introduciendo un nuevo idioma, los agnogramas: se empieza con
conjeturas cuando un nuevo problema se plantea, se pasa a los agnogramas (enunciados
ciertos que se verifican de la mejor manera posible, pero cuya veracidad
no se conoce con la misma seguridad que la de un teorema... y que no hay que
creer) y entonces se termina con teoremas, que son los gobernantes absolutos del
mercado matemático. Swart piensa que el problema de los cuatro colores está en
esta categoría.
2. Los no escépticos argumentan que la queja de que los ordenadores tienen virus
o producen errores, se puede aplicar de la misma manera a las personas, que se
equivocan muy a menudo. Aunque los errores cometidos por los ordenadores son
más difíciles de detectar, los humanos fallan con más frecuencia. Los ordenadores
siguen un programa rígido predeterminado, y no tienen distracciones motivadas
por los cambios de humor, el estrés u otros factores externos.
La longitud de algunas demostraciones está más allá de la capacidad de computación
humana, pero es perfectamente aceptable por los estándares de las máquinas.
Además, la idea de que no pueden usarse ordenadores será cada vez más extraña
para la siguiente generación: es una cuestión de aceptación y familiaridad;
serán (¿son?) herramientas como el lápiz y el papel.
La prueba de Appel y Haken es en cierto sentido convencional, consiste en una
serie de pasos lógicos, que conducen a una conclusión: la conjetura puede reducirse
a una predicción sobre el comportamiento de unos 2.000 mapas diferentes.
J.L. Casti [Mathematical Mountaintops, Oxford University Press, 2001] afirma
respecto a la prueba del teorema de los cuatro colores: “Como el problema se
ha obtenido por medios totalmente inapropiados, ningún matemático de primera
fila debería trabajar más en ello y por lo tanto una demostración decente puede
ser retrasada indefinidamente... Así que hemos hecho una cosa mala, muy mala y
pienso que una cosa similar no debería cometerse nunca más”.
En respuesta a esta opinión, D. Archdeacon responde “hay muchas malas pinturas
de jardines, pero eso no impidió a Van Gogh pintar sus girasoles”...
Las personas buscan mejorar en todos los aspectos de la vida, y de manera
similar, los matemáticos buscan demostraciones mejores, más elegantes, más cortas
y más bellas. Este es precisamente el propósito del libro de M. Aigner y G.M.
Ziegler [El libro de las demostraciones, Nivola, 2005], en el que los autores recopilan
treinta demostraciones perfectas de varias áreas de la matemática, que son
candidatas para El Libro en el cual Dios registra las demostraciones perfectas de
todos los teoremas y del que un matemático sólo llega a descubrir una parte a lo
largo de su vida, según afirmaba Paul Erdös.

Continúa...

El Teorema de los 4 colores se ha probado con computadora.

Resumo las dos posturas:

1. Para estar seguros de que una prueba es correcta, debe verificarla un humano, porque las computadoras cometen errores, y además, se trata de algo físico, "experimental".

2. Los humanos en realidad cometen más errores que las computadoras, pues las máquinas trabajan en forma rígida, sin influencias emocionales o distracciones, etc.

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Los de la postura (1) opinan de forma realmente "lamentable".
Ellos dicen que "no creen" en la prueba hecha por una máquina.

¡Reducen el asunto a una cuestión de creencias!
¡Por Zeus!
¿Estos se dicen científicos, matemáticos, expertos?

Claramente el problema es que son unos viejos decrépitos, que ponen sus prejuicios y deseos personales por delante del interés científico.

Además, cuando dicen que las "máquinas cometen errores", ¿acaso suponen que los humanos no?

Y cuando confían más en el criterio de un humano que en el de una máquina, ¿acaso piensan que el criterio de un humano es infalible, que hay una certeza ESPIRITUAL en la mente humana que le hace superior a una máquina?

Esos son prejuicios tontos.

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Dicen por ejemplo que, lo que hace una máquina es, en cierto modo, "experimental", un "experimento físico que no se comprende del todo".

Esas son puras patrañas.
Se entiende muy bien cómo funcionan las computadoras.
En general las máquinas no cometen errores en los cálculos.

Si hay errores, son en general debido a fallas del Hardware, o sea, ciertamente, fallas "físicas".
En ese sentido, sí que podemos decir que "correr un programa" es un experimento físico que puede fallar.

Una "demostración" se vuelve "estadística", porque no hay certeza de que cada vez que se corra el programa el hardware no va a fallar.

Pero en realidad, ¡a los seres humanos les pasa lo mismo!
¿Qué garantías hay de que poniendo un ser humano a verificar una prueba no se obtengan fallos?

Las demostraciones "formales" de la matemática, hechas por "humanos", ¡también son de tipo estadístico!

El hecho de que hoy estemos convencidos por ejemplo de que la igualdad fermatiana (por ejemplo) es falsa para exponente n = 4, proviene de que "se ha hecho varias veces y hasta ahora todo el mundo está de acuerdo en que la demostración no tiene errores".

O sea, el "experimento" de demostrar la falsedad de la igualdad fermatiana con n = 4 lo han realizado muchos "humanos", y hasta ahora ha dado el mismo resultado.

Pero no deja de ser un "experimento físico".
¡Es inducción empírica!

NO TENEMOS UN ALMA PERFECTA que sea garante de la perfección definitiva de una demostración.

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Con las computadoras pasa lo mismo.

Podemos decir que si el programa se corrió una sola vez: puede haber habido errores en la ejecución y obtener resultados incorrectos.

Pero si el programa (experimento) se repite decenas de veces, y se obtiene siempre el mismo resultado,
entonces ya podemos confiar en el resultado del programa.

Incluso podemos confiar más en la computadora que en una persona.

Por ejemplo, cuando hago escalonamientos de matrices con elementos "literales" (simbólicos), es seguro que yo me voy a equivocar, y por lo tanto confío más en el resultado que me da un programa de computadora como el SciLab, que escalona simbólicamente, instantáneamente, y lo hace de maravillas.

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O sea que estoy totalmente de acuerdo con la postura (2).

O sea que, en general, es perfectamente aceptable una demostración hecha por computadora.

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Una verdadera objeción tiene que darse por otros motivos.

Lo que se requiere para "poder creer" en que la computadora dio un resultado correcto,
es que el programa (software) esté bien hecho.

O sea, hay que comprobar dos cosas: (1ro) el algoritmo que hace las "demostraciones" (pues hay varios casos disintos a verificar) y (2do) el lenguaje de programación usado y el compilador empleado.

El algoritmo de los 4 colores utilizado, así como cualquier algoritmo, tiene que seguir unas reglas bien estrictas de codificación.
Existen técnicas de "validación de código" en la informática, las cuales impiden que el programados trabaje por mera "inspiración de friki informático" y en cambio haga un código cuyos pasos estén certificados con rigor lógico absoluto, línea a línea.

Esto tiene sentido si el algoritmo es más simple de hacer y analizar, que la demostración misma de los 4 colores.
Seguramente que sí, pero bueno, hay que pensar en esto.

Una vez pasada esa etapa, hay que tener en cuenta en qué lenguaje se implementa el algoritmo.

Lo que yo haria sería tratar de usar un lenguaje de programación exclusivamente diseñado para trabajar con matemática, o sea, un lenguaje cuya sintaxis no sea demasiado excesiva, orientada a propósitos ajenos, o con un paradigma de programación demasiado elaborado.

Un lenguaje como Java no sería apropiado, porque no tiene sentido toda la complejidad del paradigma de clases y objetos, para luego encarar una demostración matemática.

¿Por qué me niego a esto?

Bueno, porque justamente el algoritmo, por más válido que sea, tiene que implementarse en una máquina, y ser traducido a lenguaje de máquina.
En este proceso se introducen elementos "misteriosos" o "dudosos" de la implementación informática.

Yo pondría mis dudas en esta parte, y no tanto en las "fallas del hardware" como dicen por ahí.

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Me refiero pues que, para satisfacer los requisitos de certeza o rigor matemático de una demostración, y poder confiar en una computadora,
sería deseable que el par lenguaje+compilador esté adecuadamente certificado, claramente establecido, y aprobado por la comunidad científica. O sea, un estándar.


Si el lenguaje empleado es algo de sintaxis sencilla, entonces es fácil de entender, analizar y verificar.
Eso sería deseable.

Y finalmente, lo más delicado (o misterioso) es cómo el compilador traduce el algoritmo a lenguaje de máquina.

El compilador tiene que estar también claramente especificado, con sus reglas de traducción bien indicadas, y totalmente certificadas.

Para que esto no arroje dudas, lo que conviene es que el compilador sea sencillo, y por lo tanto obliga a que el lenguaje que ha de compilar también lo sea.

La traducción a lenguaje de máquina debe ser lo más natural posible.

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En cuanto al hardware, hoy en día es muy complejo, pues los microprocesadores hacen tareas muy complejas para conseguir eficiencia y seguridad en el proceso.
Se podría pensar en el diseño de hardware específico para fines matemáticos, en que el funcionamiento de la máquina sea simple, fácil de entender, sin "atajos". Digamos, al estilo de los micros más antiguos.

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Sin embargo, todo esto son "exceso de recaudos", puesto que en la práctica las computadoras y los compiladores funcionan bien, y lo único realmente necesario es que el algoritmo esté correctamente certificado o validado.

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Me parece ridícula que digan que es una cosa "muy muy mala" que no se debe repetir.

¡TODO LO CONTRARIO!

La matemática del futuro está en las máquinas, y muchos teoremas TIENEN que demostrarse usando máquinas, cada vez más.

Las máquinas aliviarán el trabajo permitiendo al matemático pensar de modo más cualitativo, estratégico, y dejando el cálculo duro a la computadora.

¿Que no se entiende la "idea" de la demostración?
Y bueno, es posible que no se entienda la "esencia" de lo que está pasando, o sea, el "porqué profundo" del teorema de los 4 colores.

Pero también es cierto que el hecho de que el teorema esté probado, es algo importante por sí mismo.

La matemática, como toda ciencia, no puede ser como "a uno le gusta", sino "como es".
Esta vez se logró una demostración así.
Y bueno, hay que aceptarlo.

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Ciertamente las quejas expuestas dan lástima, me dan vergüenza como matemático saber que hay colegas que piensan de ese modo tan mediocre, egoísta y anticuado.

Son opiniones supersticiosas, basadas en la ignorancia.
Asi no se conduce un profesional.

No sé qué es "test casuístico".

Me refiero a que uno puede poner un comentario, antes y después de cada línea, poniendo "a mano" condiciones lógicas que verifica el algoritmo en ese punto de "ejecución".

Por ejemplo, si escribimos:

int n = 0;

n = n + 2;
n = n + 2;
n = n + 2;

// n es par

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En ese pequeño código vemos que la condición "n es par" es lo que "se espera" que cumpla el algoritmo en ese punto.
Y uno puede analizar el código y verificar que realmente eso se cumple o no.

Por lo tanto, si el algoritmo "demuestra" el teorema de los 4 colores, es posible verificarlo en forma lógica.
Quiero decir, es posible verificar que el programa emite la salida "Teorema de 4 colores es Verdadero" si y sólo si el teorema de los 4 colores es verdadero.

El algoritmo sería algo así como una "proposición equivalente" a la afirmación de los 4 colores.

Se puede ser tan detallado en esto como haga falta, y se da así total fiabilidad lógica al algoritmo.
No es correcto usar técnicas "libres y artesanales" en programas que demuestran teoremas matemáticos.

Al menos yo no aceptaría un algoritmo así, sobretodo sabiendo que existe un modo de hacer las cosas correctamente.

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En cuanto a que la "verificación" de la prueba es tediosa,
bueno, dicha verificación podría hacerse de dos formas:

* Con otro programa que se dedique a verificar.
* O bien poniendo un millón de matemáticos a comprobar, cada uno de ellos, un párrafo de la demostración, a ver si está bien o no.

Es cierto que no se entiende por qué es "4".
Pero eso es otra pregunta aparte.
Si alguien piensa que hace falta entender la "razón profunda" de por qué es "4" el número del coloreo,
entonces que ese alguien se ponga a hacer la investigación pertinente.

Lo que se hizo con el programa es demostrar que el resultado es cierto.
No se puede despreciar ese resultado, sólo porque no están convencidos del método empleado.
Es cierto, y punto.
Y un matemático tiene que aceptar teoremas que han sido correctamente demostrados,
sin importar la estética de la demostración.

Yo tampoco entiendo por qué es cierto el Teorema de Fermat.
Si quiero entenderlo, voy a tener que ponerme a estudiar lo que otros han hecho.
Cada cual haga lo que crea que es mejor.

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En realidad lo que pasa es que esos "quejosos" tenían ganas de ser ellos quienes demostraran el teorema de los 4 colores, y llevarse la fama.
Les da odio que el teorema haya sido probado por una máquina.

Es como si un androide te robara la novia.
Bueno, pero esos son problemas emocionales que nada tienen que ver con la ciencia.

Un cientifico no tiene que chillar por tonterías.
La prueba se acepta, y si hay algo más que decir, que lo investiguen y lo digan.

O sea, si es tan importante hallar la razón mística de fondo detrás del asunto de los 4 colores, entonces que lo investiguen y punto.
Porque si no lo hacen, entonces ellos mismos están reconociendo que eso no era importante, sino que lo importante era dar con la prueba... y llevarse la gloria.

¿No?

Lo que pasa es que hay matemáticos que no tienen en cuenta la epistemología de la matemática misma,
y sólo se conducen acorde a su propia fama o costumbres, y les molesta que alguien haga las cosas de un modo diferente.

Pero la cuestión es que hoy en día la matemática tiene un estándar que es la teoría de conjuntos ZFC.
Eso, más que una teoría axiomática, yo diría que es un "marco legal" que permite dirimir cualquier dispunta acerca de si una prueba es correcta o no.

Justamente, se trata de un criterio impersonal, científico, totalmente independiente de los caprichos y conveniencias personales de cada uno.

Así que si no la aceptan es por motivaciones ideológicas o personales, y no por razones estrictamente matemáticas.

Por otro lado, la rutina de las demostraciones matemáticas implica que "alguien" tiene que corroborar que la prueba esté correcta, paso por paso.
Si la demostración es demasiado mecánica, entonces es muy fea, y no es humanamente digerible.

O sea que nadie tiene ganas de hacer la comprobación, pero eso no es culpa de la prueba misma.
Una prueba es correcta o no lo es.

Sin embargo, como yo lo veo, una demostración no es otra cosa que un cálculo tal que, a una cierta proposición (que no es más que una lista ordenada de signos, finita), le asigna un valor específico: 1 (verdadero) o 0 (falso).
Así como uno puede confiarle a una máquina que calcule la descomposición en factores primos del número 29347190834790128347019273401623490817249712349710293479121,
así también uno puede confiarle cualquier otro cálculo.

Lo único que se requiere es comprobar la estructura lógica del algoritmo, y eso puede hacerse, como ya he explicado.
Por un lado, el programador tiene que ejercer sanas conductas de programación, insertando invariantes lógicos, condiciones que se presumen verdaderas en cada punto del código ejecutable,
y luego otros verificadores pueden revisar si todo está correcto.

Incluso, cualquiera puede reproducir el programa en su propia computadora, compilarlo, ejecutarlo, y ver si obtiene el mismo resultado.

El uso de computadoras, cuando se hace correctamente, es mucho más seguro que el uso de "mentes humanas" o "demostraciones a mano".

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Los que objetan una falta de comprensión "cualitativa" de la demostración,
bueno, que se encarguen de investigar este detalle por su propia cuenta,
ofreciendo una demostración más "humanamente digerible".

Pero lo que no se puede hacer es "rechazar" una prueba que es correcta, sólo por "fobia" a las máquinas.

Por otro lado, supongamos que hago una demostración por computadora de lo que fuere, e imprimo todos los pasos de dicha demostración, y la mando a publicar en una revista científica, sin avisar que fue una máquina la que hizo la demostración.

¿Puede darse cuenta la gente de la revista que fue una máquina quien hizo la demostración?

Si alguien objeta que sí, que es demasiado mecánica y fría, entonces yo puedo objetar que Russell escribió su libro Principia Mathematica con ese estilo, escupido como por una máquina, y que nadie puede decir que yo no soy como Russell, a quien admiro y copio el estilo...

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O sea que, después de todo, si las deducciones están escritas en el papel, siguiendo los pasos válidos de la lógica... ¡es que es una demostración con pleno derecho!

Me gustaría conocer algún matemático serio (quiero decir, investigador en activo más o menos reconocido) que niegue que el teorema de los cuatro colores está demostrado.

Paul Halmos, Pierre Deligne (medalla Field en1978), Thomas Tymoczko, E. R. Swart.

Pero más allá de los recursos a la autoridad, a la élite de los sabios, al progreso tecnológico, todos ellos atendibles de facto, no lo son de jure. Son razones prácticas para creer en algo que se publica en revistas científicas prestigiosas. Pero hasta ahora, el escéptico tenía el derecho a juzgar ante el solo tribunal de su propia conciencia, si daba su voto o no. En este caso, ni siquiera puede examinar exhaustivamente la demostración. Hay que reconocer que, no ya en el caso teórico, en un caso práctico, en el que a un individuo le fuera la vida o la fortuna por el alegado teorema, tendría derecho a tantas apelaciones que la sentencia nunca se dictaría... Esto nunca le hubiera pasado a Euclides

Tampoco es que al poner en duda el grado de credibilidad del método se quiera desechar el uso de computadoras en los cálculos prácticos. Pero esta es una demostración teórica, tan deudora de la matemática cuanto de la lógica.

Lo menos que hay que reconocer, es que se pierde la posibilidad de comprobar cada paso por uno mismo.

Lejos de estar en contra del uso de computadoras en matemáticas, lo que propongo es que no se las use para meros cálculos, sino para mejorar con inteligencia artificial las demostraciones humanas, o hallarlas cuando no las hay. Así, de la misma manera que un sabio, cuando educa, no dice "cree en mí porque soy sabio", sino que explica con más detalle que el maestro común, la computadora podría no ya dar un resultado puro y duro, sino mejores razones que los humanos.

Saludos!