Hola. Supongamos que tenemos un triángulo genérico ABC de lados a, b y c respectivamente. Sea \( \theta \) el ángulo determinado por los lados a y b, cuya suma es constante igual a L. Queremos chequear que de todos los triángulos que tienen esta forma el que tiene el lado c de menor longitud es aquel que verifica \( a=b \) (triángulo isósceles). Para esto construyamos una función que dados los lados a y b y el ángulo \( \theta \) me retorne la longitud del lado c. Una manera de relacionar estas variables es por ejemplo con el teorema del coseno:
\( c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\theta} = (L-b)^2+b^2-2(L-b)b\cos{\theta} \Rightarrow c=\sqrt{(L-b)^2+b^2-2(L-b)b\cos{\theta}}=f_1(b) \)
Puesto en estos términos el problema se reduce a minimizar esta función. Puesto que \( \sqrt{x} \) es monótona creciente, sabemos que el mínimo de \( f_1 \) será alcanzado para el mismo valor de b que minimice:
\( f_2(b)=(L-b)^2+b^2-2(L-b)b\cos{\theta} \).
Derivando e igualando a cero, obtenemos:
\( \frac{{\partial f_2}}{{\partial b}}=2(b-L)+2b-2(L-2b)\cos{\theta}= 4b-2L-2L\cos{\theta}+4b\cos{\theta} \)
\( \frac{{\partial f_2}}{{\partial b}}=4b(1+\cos{\theta})-2L(1+\cos{\theta})=(1+\cos{\theta})(4b-2L) \)
Entonces, dado que el factor \( (1+\cos{\theta}) \) no puede valer cero pues \( \theta \in (0,\pi) \) se tiene que la derivada se anula si y sólo si \( b=\frac{L}{2}=a \) de donde se desprende que el triángulo que tiene menor base debe tener dos de sus lados iguales.
