Hace unos meses puse un post preguntando sobre la hipótesis del continuo, preguntando cosas sobre ella, porque tenía muchas dudas; algunas me fueron aclaradas amablemente por Argentinator y Óscar Matzerath, pero aún así, como yo a veces tardo en entender los asuntos abstrusos, me siguieron quedando dudas. Hoy, con la idea un poco más madurada, quiero hacer otra pregunta a raíz de un planteamiento previo:
Si establecemos una correspondencia \( \mathbb{Q}\longrightarrow \mathbb{Q} \) resulta obvio que establecemos una aplicación biyectiva; todos los elementos cubren las correspondencias entre ellos mismos (cubren o agotan, pero dado que son infinitas correspondencias prefiero emplear el verbo cubrir).
Dado que, por definición, \( \mathbb{I} \not\subset \mathbb{Q} \) (donde “I” representa el conjunto de los irracionales) en la aplicación no ha quedado correspondido ningún elemento de \( \mathbb{I} \) con elemento alguno del conjunto universal que se quiera considerar (salvo con ellos mismos, si acaso se quiere considerar eso). En cambio, sí quedan correspondidos automáticamente los naturales, y los enteros en general, por estar contenidos en \( \mathbb{Q} \).
Análogamente ocurre si establecemos esta otra correspondencia, pero en este caso no quedan correspondidos automáticamente los enteros:
\( \mathbb{I} \longrightarrow \mathbb{I} \)
Ningún \( Q \) queda correspondido mediante la operación; no tocamos ningún elemento de ese conjunto al realizar esta última operación.
Finalmente, de esto deducimos que la aplicación
\( \mathbb{(Q+I)\longrightarrow \mathbb{I}} \)
no es biyectiva.
Ya que \( \mathbb{Q}+\mathbb{I}=\mathbb{R} \), y a tenor de lo visto, el cardinal de \( \mathbb{R} \) es mayor que el cardinal de \( \mathbb{I} \).
Seguidamente, si tomamos dos elementos de \( \mathbb{I} \) que comiencen por una cifra distinta (sean arbitrariamente \( 1,\,... \) y \( 2,\,... \)) éstos van asociados al menos a dos conjuntos distintos de infinitos elementos distintos; el conjunto que forman estos dos conjuntos infinitos son, evidentemente, un subconjunto de \( \mathbb{I} \) y, por tanto, \( \mathbb{I} \) tendrá un cardinal al menos tan grande como el de dicho subconjunto.
Llamemos al subconjunto mencionado \( S \). Éste subconjunto no puede ser numerable al estar compuesto por dos colecciones infinitas de infinitos elementos distintos. Si estuviera compuesto de una sola colección sí, evidentemente, no hay más que pensar que cualquiera de nosotros sabemos hallar, recursivamente y empleando trigonometría elemental, los valores que se aproximan a \( \pi \) inscribiendo polígonos en una circunferencia; polígonos de lados enteros que podemos ir numerando; luego sería numerable. Pero con dos, ya no es numerable, necesitaríamos otro conjunto con un segundo 1 con un segundo 2... porque una sola colección de infinitos naturales no cubre enteramente a dos conjuntos infinitos.
Luego el cardinal de \( \mathbb{I} \) es mayor que el cardinal \( \mathbb{Z} \) (y por mucha diferencia, por infinita diferencia).
Y ahora, la pregunta es obvia, ¿qué pasa con la hipótesis del continuo, es que no se considera que los irracionales sea un verdadero conjunto? Porque ahí hay tres cardinales distintos encerrados en los subconjuntos de “R” y en “R”, que sí es un conjunto verdadero; hay esto:
\( \exists I : \aleph_0 < |I| < 2^{\aleph_0} \)
Gracias.
