Autor Tema: grado de un polinomio

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10 Octubre, 2011, 02:28 am
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crismath

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Hola, necesito resolver este ejercicios, cualquier ayuda o guía les agradecería.
Sea R el campo de los números reales y Q el campo de los número racionales. En R, \( \sqrt[ ]{2} \) y \( \sqrt[ ]{3} \) son ambos números algebraicos sobre Q. Exhibase un polinomio de grado 4 sobre Q satisfecho por \( \sqrt[ ]{2} +\sqrt[ ]{3}  \).
a)¿cuál es el grado de \( \sqrt[ ]{2} +\sqrt[ ]{3}  \) sobre Q? ¿por qué?
b)¿cuál es el grado de \( \sqrt[ ]{2} \) \( \sqrt[ ]{3} \) sobre Q? ¿por qué?

10 Octubre, 2011, 06:52 am
Respuesta #1

Jorge klan

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Hola

Sea \( x=\sqrt{2}+\sqrt{3} \), elevando al cuadrado se tiene que \( x^2=2+2\sqrt{6}+3 \), esto es si y sólo si \( x^2-5=2\sqrt{6} \). Nuevamente elevando al cuadrado, se tiene que \( (x^2-5)^2=24 \). Desarrolla el binomio y despeja para encontrar el polinomio que buscas. Con esto también puedes concluir fácilmente (a). Para (b) intenta lo mismo ( es más inmediato incluso)

Saludos