Autor Tema: Función biyectiva

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09 Octubre, 2011, 11:17 pm
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laudan

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Determine valores de \( a,b,c,d \in{}\mathbb{A} \) con \( a\neq{}0 \) tales que \( F(x)=ax^3+bx^2+cx+d \); \( F:\mathbb{B}\longrightarrow{}\mathbb{C} \) sea biyectiva

09 Octubre, 2011, 11:30 pm
Respuesta #1

Jorge klan

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Laudan: Conviene que dediques unos minutos a leer las reglas del foro y el tutorial de Latex del mismo para que aprendas a editar bien tus fórmulas matemáticas.

Además procura encerrar con [tex][/tex] solamente las fórmulas matemáticas. También debes corregir el título de tus otros hilos, no trates de llamar la atención poniendo todo éste en mayúsculas.

Por esta vez he corregido el título y además arreglé un poco tu mensaje ya que no era del todo nítido. Los conjuntos \( \mathbb{A},\mathbb{B} \) y \( \mathbb{C} \) deberás corregirlos tú, ya que al momento de corregir noté que no ponías éstos, así que no sé realmente lo que va allí.

Saludos.

10 Octubre, 2011, 05:03 am
Respuesta #2

JLPerelmán

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Laudan.
Mira para que una función sea biyectiva debe ser inyectiva esto es  cuando a cada elemento del conjunto B le corresponde un elemento distinto en el conjunto C), y debe ser suryectiva; a cada   elemento de "C" es la imagen de como mínimo un elemento de "B".
ahora, dijiste que solo debes encontrar valores de \( a,b,c,d \), si tomas los valores arbitrariamente \( a=8,b=12,c=6,d=1 \) cumple con la condición de biyectividad.
Ahora bien, depende también del signo de \( a \), y la relación de \( b^2 \) y \( 3ac \) y también te ayudará si  encuentras los puntos de corte con el eje x, y sí los puntos de corte te dan dos solución para la x entonces la función no es biyectiva. un ejemplo de este sería para los puntos \( a=1,b=2,c=1,d=0 \)
Espero haberte ayudado en algo. saludos
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10 Octubre, 2011, 06:05 am
Respuesta #3

Rogelio Yoyontzin

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La función polinomial de grado 3 sieempre es suprayectiva. Esta será inyectiva si es monotona, en este caso esto es equivalente a decir que su derivada es siempre mayor o igual a cero o siempre menor o igual a cero.

La derivada es pues \( 3ax^2+2bx+c \).

Un polinomio cuadrático es siempre positivo o siempre negativo si a lo más corta al eje \( x \) en un punto. Esto es equivalente a decir que el discriminante de tal polinomio cuadrático es menor o igual a cero.

En nuesto caso esto implica que \( (2b)^2-4(3a)(c)\leq 0 \) y esto nos da la respuesta.

Es decir el polinomio de grado tres del problema es biyectivo sí y sólo sí \( b^2-3ac \leq 0 \).
Yoyontzin.