Autor Tema: Límite

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09 Octubre, 2011, 11:05 pm
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lul

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¿Cómo deben ser a y b para que el  lím f(x) (x tendiendo a 2) =f (2). Haga el gráfico.

f(x) = ax^2 - b si x>=2
         ax  - b    si x<2
 
Hice un sistema de ecuaciones; para que los límites laterales sean iguales y llegué a que a= (b-1)/2. No sé si está bien; pero tampoco sabría cómo graficarlo.
Saludos!


Título modificado: Limite -> Límite

09 Octubre, 2011, 11:13 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola lul,

Spoiler
has escrito bien las ecuaciones en otros mensajes.

Dentro de los botones está el que permite escribir funciones por tramo: \( f(x)=\begin{Bmatrix} a & \mbox{ si }& b\\c & \mbox{si}& d\end{matrix} \)  y límite \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{} \).

 Te agradezco corrijas éste para que esté de acuerdo a las reglas.
[cerrar]

\( \displaystyle\lim_{x \to 2^+}{f(x)}=4a-b \)

\( \displaystyle\lim_{x \to 2^-}{f(x)}=2a-b \)

el límite existe si los límites laterales son iguales, por lo que se debe cumplir:

\( 4a-b=2a-b\Rightarrow a=0\wedge b\in\mathbb{R} \).

No debieras tener problemas en graficar la recta y parábolas resultante el resultado.

09 Octubre, 2011, 11:23 pm
Respuesta #2

Alpha Floor

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Los límites laterales tienen que coincider entre sí y tienen que coincidir con el valor de la función en x=2. De ahí obtienes un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, a y b. Tú lo que tienes es una ecuación con 2 incógnitas, sistema compatible indeterminado. Te falta otra ecuación. Resuelves el sistema y obtienes a y b.

Una vez tienes a y b ya tienes la función definida a trozos y la representas en una gráfica.
A algunos siempre les quedará París y a nosotros... ¡siempre nos quedarán los desarrollos en serie!

09 Octubre, 2011, 11:25 pm
Respuesta #3

mathtruco

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Creo que se tiene sólo una ecuación (con dos incógmitas), y por tanto se tienen infinitas soluciones.

¿De dónde saldría la otra?

10 Octubre, 2011, 12:08 am
Respuesta #4

Alpha Floor

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Pues es verdad, me confundí  ::)

Al leer el enunciado no sé porqué leí mal que f(2) = 2. Si el enunciado dice que la función es continua y te da el valor de la función en x=2, entonces es muy fácil calcular los valores de a y b concretos. Como no dicen el valor de f(2) no hay datos suficientes y hay infinitas soluciones como bien dices.

En cualquier caso como demuestras que a=0, la función es una recta y=cte. arbitraria

De todas formas es probable que el autor del hilo haya olvidado indicar el valor de f(2), pues se trata de un problema muy típico de continuidad
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10 Octubre, 2011, 12:29 am
Respuesta #5

Carolina Herschel

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Hola

La función resultante no sería \( f(x)=-b \forall{x\in{\mathbb{R}}} \)? No veo de dónde dicen que sale una parábola y una recta  :-\
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10 Octubre, 2011, 12:32 am
Respuesta #6

mathtruco

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Hice la corrección Carolina Herschel.

Spoiler
Como el enunciado define la función como dos tramos: en uno una recta y en otro una parábola, y hay que encontrar los \( a \) y \( b \) para graficarlos entonces los llamé igual (sería como una "parábola y rectas degeneradas", pero en la práctica  son una función constante).

Si mi memoria no me falla, es correcto llamarlos parábola o recta degenerada. Pero me ha fallado tantas veces la memoria...

Pero para evitar confusiones, cambié esa línea.
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10 Octubre, 2011, 12:38 am
Respuesta #7

Carolina Herschel

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 :D No problem.

Saludos!
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