Autor Tema: Semisuma de distancias

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08 Octubre, 2011, 09:58 am
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Michel

  • Lathi
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En un triángulo equilátero ABC se traza una paralela al lado AB que pasa por el baricentro.
Sea M un punto de esa recta, interior al triángulo. Se trazan las perpendiculares MD, ME, MF a los lados AB, AC, BC del triángulo, respectivamente.
Probar que MD = (ME + MF)/2.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

12 Octubre, 2011, 09:57 am
Respuesta #1

Michel

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Demostremos en primer lugar que la suma de las distancias de un punto interior de un triángulo a los vértices es igual a la altura de dicho triángulo.

Uniendo el punto M (que puede ser cualquiera) con los vértices se forman tres triángulos, la suma de cuyas áreas es igual área del triángulo dado:

\( \displaystyle\frac{1}{2}a(MD+ME+MF)=\displaystyle\frac{1}{2}ah\Rightarrow{MD+ME+MF=h}   (1) \)

Si M está en la paralela a AB trazada por el baricentro del triángulo, por la propiedad de este punto, se verifica\( MD=\displaystyle\frac{1}{3}h\Rightarrow{h=3.MD} \)

Sustituyendo este valor en (1): MD + ME + MF = 3MD; de donde se deduce que MD = (ME + MF)/2.

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker