Autor Tema: Ángulo triple de otro

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

05 Octubre, 2011, 10:10 am
Leído 374 veces

Michel

  • Lathi
  • Mensajes: 5,998
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Por un punto exterior a una circunferencia de centro O, se traza una secante ACD cuya parte exterior AC es igual al radio; se traza el diámetro AOB; demostrar que el ángulo COA es un tercio del ángulo DOB.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

06 Octubre, 2011, 01:08 am
Respuesta #1

Héctor Manuel

  • Lathi
  • Mensajes: 3,631
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
No entiendo el enunciado.  ¿Qué es B? ¿Puedes, en este caso, hacer mejor el dibujo de la situación para mostrárnoslo?

Saludos.

06 Octubre, 2011, 09:31 am
Respuesta #2

Michel

  • Lathi
  • Mensajes: 5,998
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Te envío el dibujo. Efectivamente el enunciado no es completo.

Un saludo.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

06 Octubre, 2011, 10:31 pm
Respuesta #3

Héctor Manuel

  • Lathi
  • Mensajes: 3,631
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Bueno.  Ahora ya queda claro.

Usaremos el siguiente resultado: Si \( \triangle XYZ \) es un triángulo, y se traza el rayo \( YX \) (de \( Y \) hacia \( X \)), y sobre dicho rayo se toma el punto \( P \) tal que \( X \) queda entre \( Y \) y \( P \), entonces \( \angle ZYX+\angle XZY=\angle ZXP \).  Es decir, la suma de dos ángulos interiores de un triángulo es igual al ángulo exterior correspondiente al tercer ángulo interno.

Con eso en mente:

El triángulo \( \triangle ACO \) es isósceles ya que \( OC=AC \) por construcción.  Entonces \( \angle COA=\angle CAO \).  Por el teorema anterior, tenemos \( \angle DCO=\angle CAO+\angle COA=2\angle COA \).

Como \( \triangle OCD \) es isósceles con \( OD=OC \), entonces \( \angle ODC=\angle DCO \).  Por tanto \( \angle ODC=2\angle COA \).

Finalmente, de nuevo por el teorema anterior, \( \angle DOB=\angle ODA+\angle OAD=\angle ODC+\angle COA=3\angle COA \), que es lo que se quería demostrar.

Saludos.