Autor Tema: Lógica Proposicional

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01 Octubre, 2011, 01:21 am
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nktclau

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Hola Gente!!! como están. Me pueden dar una ayudita en el siguiente inciso por favor.

Decir si la siguiente proposición es verdadera o falsa, justificando la respuesta

a) \( \bold{p\Rightarrow{q}\Longleftrightarrow{\sim{(\sim{p\Rightarrow{\sim{q}}})  }}} \)
             
              la expresión anterior es equivalente a \( p\Rightarrow{q}\Longleftrightarrow{\sim{ (q\Rightarrow{p}) }}} \) debido a que \( (\sim{p\Rightarrow{\sim{q}}})\Leftrightarrow{(q\Rightarrow{p})} \) por contrarrecíproco.
Luego por definición de equivalencia tenemos  \( p\Rightarrow{q}\Longleftrightarrow{\sim{ (\sim{q} \vee p}) }}} \)

Por De Morgan  \( p\Rightarrow{q}\Longleftrightarrow{(q \wedge \sim{p}}) }}} \)

Hago las tablas de verdad y se puede observar que la proposición es verdadera si p es verdadero y q es falso, o bien si p es falso y q es verdadero
La proposición es falsa si  p es falso y q es falso o bien si p es verdadero y q es verdadero.


En las siguientes proposiciones me solicitan lo mismo que la anterior y negarla

b) \( s: \bold{\exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ x } \) es multiplo de 9 y \( x \) no es multiplo de 3.

Lo que hice en primera instancia es negarla para que la demostración sea sencilla  :-[

Quedando: \( \forall{x}\in{\mathbb{R}}:p\Rightarrow{q} \)
siendo p: x es multiplo de 9 y q: x es multiplo de 3

por el método directo demuestro que \( \sim{s} \) es verdadero por lo tanto \( s \) es falso

c) Todo número real, si es racional entonces es entero
 
Falso pues, \( \exists{x}\in{\mathbb{R}} \), con \( 3 \in{\mathbb{Z}} \) y \( 5 \in{\mathbb{Z}} \) tal que 3 y 5 no son múltiplos y \( x=\displaystyle\frac{3}{5} \) pero \( \displaystyle\frac{3}{5}\not\in{\mathbb{Z}} \)

Suponiendo que lo de arriba estuviera bien justificado tuve problemas para negarla quisiera saber si lo hecho estará bien por favor. GRACIAS!!
Existe un número real, tal que es racional y no es entero.
UN ABRAZO!!!

01 Octubre, 2011, 09:02 pm
Respuesta #1

Jorge klan

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Hola

a) \( \bold{p\Rightarrow{q}\Longleftrightarrow{\sim{(\sim{p\Rightarrow{\sim{q}}})  }}} \)

En estricto rigor, el problema no está bien planteado, pues se puede interpretar de dos modos así como está escrito:

\( (p\Rightarrow{q})\Longleftrightarrow{\sim{(\sim{p\Rightarrow{\sim{q}}})}} \)

o bien

\( p\Rightarrow({q}\Longleftrightarrow{\sim{(\sim{p\Rightarrow{\sim{q}}})}}) \)

así, el valor de verdad puede depender de cómo lo interpretaste tú.

b) \( s: \bold{\exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ x } \) es multiplo de 9 y \( x \) no es multiplo de 3.

Lo que hice en primera instancia es negarla para que la demostración sea sencilla  :-[

Quedando: \( \forall{x}\in{\mathbb{R}}:p\Rightarrow{q} \)
siendo p: x es multiplo de 9 y q: x es multiplo de 3

por el método directo demuestro que \( \sim{s} \) es verdadero por lo tanto \( s \) es falso

Con tus asignaciones la negación de la proposición es:

\( (\forall x\in \mathbb{Z})(\sim p \vee q) \)

es decir

\( (\forall x\in \mathbb{Z})(x \text{ no es m\'ultiplo de } 9 \vee x \text { es m\'ultiplo de } 3) \)

nota que usando la equivalencia \( \sim p\vee q \equiv p\Rightarrow{} q \), esta última proposición nos queda:

\( (\forall x\in \mathbb{Z})(x \text{ es m\'ultiplo de } 9 \Rightarrow{} x \text { es m\'ultiplo de } 3) \)

la cual es verdadera, pues si \( x=9t \), entonces, \( x=3(3t) \).

c) Todo número real, si es racional entonces es entero
 
Falso pues, \( \exists{x}\in{\mathbb{R}} \), con \( 3 \in{\mathbb{Z}} \) y \( 5 \in{\mathbb{Z}} \) tal que 3 y 5 no son múltiplos y \( x=\displaystyle\frac{3}{5} \) pero \( \displaystyle\frac{3}{5}\not\in{\mathbb{Z}} \)

Suponiendo que lo de arriba estuviera bien justificado tuve problemas para negarla quisiera saber si lo hecho estará bien por favor. GRACIAS!!
Existe un número real, tal que es racional y no es entero.

Esto está correcto. La proposición original es:

\( (\forall x\in \mathbb{R})(x\in \mathbb{Q}\Rightarrow{}x\in \mathbb{Z}) \)

la cual es equivalente a

\( (\forall x\in \mathbb{R})(x\not\in \mathbb{Q}\vee x\in \mathbb{Z}) \)

Luego, la negación quedaría:

\( (\exists x\in \mathbb{R})(x\in \mathbb{Q} \wedge x\not\in \mathbb{Z}) \)

Saludos


01 Octubre, 2011, 11:05 pm
Respuesta #2

nktclau

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Hola Jorge Klan ¿cómo estás?  ;) ;) GRACIAS POR LA GRAN AYUDA  ;)

a) \( \bold{p\Rightarrow{q}\Longleftrightarrow{\sim{(\sim{p\Rightarrow{\sim{q}}})  }}} \)

En estricto rigor, el problema no está bien planteado, pues se puede interpretar de dos modos así como está escrito:

\( (p\Rightarrow{q})\Longleftrightarrow{\sim{(\sim{p\Rightarrow{\sim{q}}})}} \)

o bien

\( p\Rightarrow({q}\Longleftrightarrow{\sim{(\sim{p\Rightarrow{\sim{q}}})}}) \)

así, el valor de verdad puede depender de cómo lo interpretaste tú.


Independientemente, de cómo lo haya interpretado yo, ¿cuál sería la forma correcta de realizar o analizar, mejor dicho, el valor de verdad de la proposición a)?????

b) \( s: \bold{\exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ x } \) es multiplo de 9 y \( x \) no es multiplo de 3.

He tomado \( \begin{Bmatrix} \textsf{p: x es multiplo de 9}\\ \textsf{q: x es multiplo de 3}\end{matrix} \). Así la proposición queda: \( s:\exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ p\wedge \sim{q}   \)
Negándola sería: \( \sim{\left( \exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ p \wedge \sim{q} \right)} \)

lo que es igual a: \( \forall{x}\in{\mathbb{Z}}/ \sim{p} \vee q   \)   lo que es equivalente a la definición de implicación   \( \forall{x}\in{\mathbb{Z}}/ \ p\Rightarrow{q} \)

Es decir \( \sim{s}: \forall{x}\in{\mathbb{Z}} \) si x es multiplo de 9 entonces es multiplo de 3

Esta bien???


BUENO MUCHAS GRACIAS JORGE , NUEVAMENTE!!!!  ;)

02 Octubre, 2011, 08:01 pm
Respuesta #3

Jorge klan

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Hola  ;D


Independientemente, de cómo lo haya interpretado yo, ¿cuál sería la forma correcta de realizar o analizar, mejor dicho, el valor de verdad de la proposición a)?????

El valor de verdad lo puedes encontrar por tablas de verdad o bien reduciendo la expresión con equivalentes (como lo estás haciendo tú). Yo al menos prefiero esto último...pero es cosa de gustos o bien cómo te pida el ejercicio el profesor. Ahora, como dije anteriormente, el ejercicio se puede interpretar de las dos formas que indico anteriormente, ¿estás segura que no te faltó tipear un paréntesis?.


b) \( s: \bold{\exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ x } \) es multiplo de 9 y \( x \) no es multiplo de 3.

He tomado \( \begin{Bmatrix} \textsf{p: x es multiplo de 9}\\ \textsf{q: x es multiplo de 3}\end{matrix} \). Así la proposición queda: \( s:\exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ p\wedge \sim{q}   \)
Negándola sería: \( \sim{\left( \exists{x} \in{\mathbb{Z}}/ p \wedge \sim{q} \right)} \)

lo que es igual a: \( \forall{x}\in{\mathbb{Z}}/ \sim{p} \vee q   \)   lo que es equivalente a la definición de implicación   \( \forall{x}\in{\mathbb{Z}}/ \ p\Rightarrow{q} \)

Es decir \( \sim{s}: \forall{x}\in{\mathbb{Z}} \) si x es multiplo de 9 entonces es multiplo de 3

Está bien???

Está bien

Saludos

02 Octubre, 2011, 11:38 pm
Respuesta #4

nktclau

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Hola JORGE!!!  ;D ;D ;D
GRACIAS!! antes que nada.

Tienes razón, es mejor reducir la expresión, pero como no faltó tipear nada y tiene dos posibles interpetaciones será mejor realizar la tabla  :banghead: :banghead: :banghead: :banghead:


UN ABRAZO!!  ;)