Autor Tema: Demostración de conjuntos 3

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01 Octubre, 2011, 05:29 pm
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nktclau

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Hola GENTE!!!! como va, me podrán ayudar con esta demostración por favor.

Si \(  A\subseteq{B'}\Longrightarrow{ (A-C)\cup{(C-B)=(A\cup{C})-B}}  \) Debo probar una doble inclusión, es decir \( \begin{Bmatrix}(A-C)\cup{(C-B)\subseteq{}(A\cup{C})-B \\\\(A\cup{C})-B\subseteq{(A-C)\cup{(C-B)}\end{matrix} \)

Parte 1: \(  (A-C)\cup{(C-B)\subseteq{} (A\cup{C})-B  \)

\( \exists{x \in{(A-C)\cup{(C-B)}}\underbrace{\Rightarrow}_{1} {x \in{(A-C) \vee x \in{ (C-B)}}} \underbrace{\Rightarrow}_{2} {(x \in{A} \wedge X \not\in{C})\vee (x \in{C \wedge x \not\in{B}}) }\underbrace{\Rightarrow}_{3} {(x \not\in{B} \wedge x \not\in{C}) \vee (x \not\in{B} \wedge x \in{C})} \underbrace{\Rightarrow}_{4} {x \not\in{ B} \wedge \underbrace{(x \not\in{C}\vee x \in{C})}_{tautologia} } \) de aquí no se como hacer para llegar a que \(  (A\cup{C})-B \)

Justificaciones
1) Por definición de unión
2) Por definición de diferencia
3) Por Hipótesis
4) Por propiedad distributiva

Desde ya muchas gracias!!!!
 ;)

01 Octubre, 2011, 08:19 pm
Respuesta #1

Jorge klan

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Hola

Tu razonamiento es correcto, pero desde el punto \( 3 \) te complicas. Desde el punto \( 2 \) veamos los dos casos:

1) Supongamos que \( x\in A-C \). Como \( A\subseteq{}B' \) (supongo que con \( B' \) te refieres al complemento de \( B \)) se tiene que \( x\not\in B \) y \( x\in A\subseteq{}A\cup C \) y por tanto \( x\in (A\cup C)-B \).

2) Ahora, si \( x\in C-B \) es inmediato ¿no?, pues \( x\in C\subseteq{}A\cup C \) y \( x\not\in B \), luego \( x\in (A\cup C)-B \).

Intenta hacer la otra contención.

Saludos

02 Octubre, 2011, 05:42 pm
Respuesta #2

nktclau

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Hola Jorge !! desde ya muchísimas gracias!!!  ;)

Intenta hacer la otra contención.

\(  (A\cup{C})-B\subseteq{(A-C)\cup{(C-B)} \)

\( \textsf{Si  } x \in{(A\cup{C})-B }\Rightarrow{x \in{(A\cup{C)\wedge x \not\in{B}}}}\Rightarrow{(x \in{ A}\cup{x \in{C}})\wedge x \not\in{B}}\Rightarrow{(x \in{A}\wedge x \not\in{B})\vee (x \in{C}\wedge x \not\in{B})}\Rightarrow\underbrace{ {\bold{\color{blue} x \in{(A-B)}}\vee x \in{(C-B)}} }_{\color{red} (1)}  \)

\( \textsf{Si  }x \in{ (A-B)}\Rightarrow{x \in{A}\wedge x \not\in{B}}\Rightarrow{x \in{A} \wedge x \in{ B'} \Rightarrow{x \in{A} \wedge x \in{B'}\subseteq{B'\cup{C'}}}\Rightarrow{x \in{A}}\wedge x \in{(B'\cup{C'}})\Rightarrow{x \in{A}\wedge (x \in{B'}\vee x \in{C'})}\Rightarrow{(x \in{A}\wedge x \in{B'}) \vee (x\in{A}\wedge x \in{C'})}\Rightarrow{\underbrace{ (x \in{B'}\wedge x\in{B'})}_{tautologia} \vee (x \in{A}\wedge x \not\in{C})}\Rightarrow{(x \in{ A \wedge x \not\in{C})}}\Rightarrow{x \in{(A-C)}} \)

Volviento a la expresión (1) tenemos que \(  (A\cup{C})-B\subseteq{(A-C)\cup{(C-B)} \)

Está bien???

Lo hice paso a paso siguiendo las definiciones

 ;)

02 Octubre, 2011, 08:24 pm
Respuesta #3

Jorge klan

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Sí, es correcto.

Otro modo es:

Si \( x\in(A\cup C)-B \) esto implica que \( x\in A\cup C \), pero \( x\not\in B \), luego:

1) Si \( x\in A-C \), entonces, \( x\in(A-C)\cup (C-B) \).

2) Si \( x\in C \), entonces, \( x\in C-B \) (pues por  hipótesis \( x\not\in B \)) y luego \( x\in(A-C)\cup (C-B) \).

Así, tenemos que \( (A\cup C)-B\subset (A-C)\cup(B-C) \). Nota que es posible hacer el análisis de este modo, pues \( A\cup C=(A-C)\cup C \).

Saludos

02 Octubre, 2011, 11:34 pm
Respuesta #4

nktclau

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Hola Jorge GRACIAS!!!!

Sólo me entró un duda de mi desarrollo si tengo

\( \underbrace{ (x \in{B'}\wedge x\in{B'})}_{tautologia} \vee (x \in{A}\wedge x \not\in{C})}\Rightarrow{(x \in{ A \wedge x \not\in{C})}}\Rightarrow{x \in{(A-C)}} \)

Está mal hacer este trozo de la demostración. Pues si tengo \( p \vee V \Leftrightarrow{V} \) es decir si tengo tautología y una proposición es equivalente a tomar solo la tautologia.
¿Me equivoco???  ??? ??? ???

De ser así estaría mal lo que he hecho  :-\ :-\ :-\

Pero puedo adoptar tu demostración,  ;) ;) ;)

Me gustaría me quiten esa duda por favor

GRACIAS!!!!

10 Octubre, 2011, 01:25 am
Respuesta #5

Jorge klan

  • Lathi
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Hola

Disculpa por llegar tarde.

Sólo me entró un duda de mi desarrollo si tengo

\( \underbrace{ (x \in{B'}\wedge x\in{B'})}_{tautologia} \vee (x \in{A}\wedge x \not\in{C})}\Rightarrow{(x \in{ A \wedge x \not\in{C})}}\Rightarrow{x \in{(A-C)}} \)

Está mal hacer este trozo de la demostración. Pues si tengo \( p \vee V \Leftrightarrow{V} \) es decir si tengo tautología y una proposición es equivalente a tomar solo la tautologia.

Es correcto lo que dices y como dije anteriormente tú demostración es correcta.

Saludos