Hola
\( Z_5[u] \) es el menor cuerpo que contiene a \( Z_5 \) y además a la raíz \( u \), que verifica \( u^2=2 \). Todo elemento de tal cuerpo puede ponerse de la forma:
\( a+bu \) con \( a,b\in Z_5 \)
de manera que los vienticinco elementos que lo componen serían:
\( 0,u,2u,3u,4u,1,1+u,1+2u,1+3u,1+4u,2,2+u,2+2u,2+3u,2+4u,3,3+u,3+2u,3+3u,3+4u,4,4+u,4+2u,4+3u,4+4u \)
Las operaciones suma y producto del cuerpo funcionan así (de la manera más natural):
\( (a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u \)
\( (a+bu)(c+du)=ac+adu+bcu+bdu^2)=(ac+2bd)+(ad+bc)u \)
En general la clave para operar es tener en cuenta que \( u^2=2. \)
Por ejemplo:
\( (u+1)^2=u^2+2u+1=2+2u+1=\ldots \)
Saludos.
P.D. Nota que esta es una forma bastante natural de construir cuerpos a partir de unos dados. El ejemplo clásico es construir el cuerpo de los complejos como \( R[u] \) siendo \( u \) la raíz de \( u^2=-1 \).
