Autor Tema: Problema acerca del campo Z5

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21 Septiembre, 2011, 03:12 am
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javier m

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hola, encontré este problema en un examen por ahí y no tengo idea de como se hace y tampoco entiendo algo que dice.
el problema es este:

En el campo \(  \mathbb{Z}_5 \) la ecuación \( x^2=2 \) no tiene solución. Sea \( u \) tal que \( u^2=2 \). Entonces agregando \( u \) al campo \( \mathbb{Z}_5 \) obtengo el campo \( \mathbb{Z}_5[u] \) con 25 elementos en donde \( (u+1)^2= \)

a) 1
b) u+2
c) \( 2u+3 \)
d) 2u
e) u+1
f) OTRA

La respuesta es c) \( 2u+3 \) , ¿pero por qué?

una cosa que no entendí, ¿como asi que si agregan a \( u \), el campo pasa de tener 5 elementos a tener 25?  ??? no entendí eso

21 Septiembre, 2011, 10:02 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 \( Z_5[u] \) es el menor cuerpo que contiene a \( Z_5 \) y además a la raíz \( u \), que verifica \( u^2=2 \). Todo elemento de tal cuerpo puede ponerse de la forma:

 \( a+bu \) con \( a,b\in Z_5 \)

 de manera que los vienticinco elementos que lo componen serían:

\(  0,u,2u,3u,4u,1,1+u,1+2u,1+3u,1+4u,2,2+u,2+2u,2+3u,2+4u,3,3+u,3+2u,3+3u,3+4u,4,4+u,4+2u,4+3u,4+4u \)

 Las operaciones suma y producto del cuerpo funcionan así (de la manera más natural):

\(  (a+bu)+(c+du)=(a+c)+(b+d)u \)

\( (a+bu)(c+du)=ac+adu+bcu+bdu^2)=(ac+2bd)+(ad+bc)u \)

 En general la clave para operar es tener en cuenta que \( u^2=2. \)

 Por ejemplo:

\(  (u+1)^2=u^2+2u+1=2+2u+1=\ldots \)

Saludos.

P.D. Nota que esta es una forma bastante natural de construir cuerpos a partir de unos dados. El ejemplo clásico es construir el cuerpo de los complejos como \( R[u] \) siendo \( u \) la raíz de \( u^2=-1 \).

22 Septiembre, 2011, 03:39 pm
Respuesta #2

javier m

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oops, disculpa por la demora.

gracias por contestar, ¿me puedes regalar un link acerca de este tema? o decirme siquiera como debo buscarlo ya que ni siquiera se como se llama el tema

me siento un poco hueco en esto, ya que en el libro de uso usual de álgebra lineal de acá, no se encuentra nada de eso.

entonces quisiera saber con que nombre puedo buscar eso para meterme mas. (eso no es de álgebra lineal ¿cierto?)

22 Septiembre, 2011, 04:28 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 No es álgebra lineal, sino álgebra "a secas". Como libro completo en la red tienes el de Ivorra:

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra.pdf

 Y un poco más resumido:

http://www.mat.puc.cl/~rlewin/apuntes/algebra.pdf

Saludos.

22 Septiembre, 2011, 08:54 pm
Respuesta #4

javier m

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Gracias señor el_manco