Autor Tema: hallar las raíces

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

21 Septiembre, 2011, 02:29 am
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sanmath

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Hola tengo problemas con este ejercicio:
Hallar todas las soluciones de:
\( z^2+2z+(1-i)=0 \)

he intentado lo siguiente:
 lo anterior puedo escribirlo como:
\( (z+1)^2=i \)
pero de aqui no se como puedo continuar, para poder usar la formula de las raices de un polinomio complejo:
saludos
1301215

21 Septiembre, 2011, 03:41 am
Respuesta #1

pepito

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Vas bien.

\( (z+1)^2=i\Longleftrightarrow |z+1|^2=1\wedge 2\arg(z+1)=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \ k\in\mathbb{Z}\Longleftrightarrow\\ \\\Longleftrightarrow|z+1|=1\wedge\arg(z+1)=\dfrac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2},\ \ k\in\mathbb{Z} \)

Lo que te devuelve exactamente dos soluciones distintas (probalo):

\( |z+1|=1\wedge\arg(z+1)=\frac{\pi}{4} \)

y

\( |z+1|=1\wedge\arg(z+1)=\frac{5\pi}{4} \)

Escribí al número \( z+1 \) en la forma \( a+bi \) en cada uno de los dos casos, para poder pasar el 1 restando y ya tenés \( z \).
"...parecido pero nada que ver"

21 Septiembre, 2011, 03:43 am
Respuesta #2

sanmath

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hola pepito gracias por la ayuda, no entiendo muy bien la notación que usas que es arg?
saludos
1301215

21 Septiembre, 2011, 03:56 am
Respuesta #3

pepito

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\( \arg(z) \) es el ángulo que forma el número complejo \( z \) (como vector) con el semieje horizontal positivo (medido en sentido antihorario).
"...parecido pero nada que ver"

21 Septiembre, 2011, 04:19 am
Respuesta #4

javier m

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yo tampoco te entendí :p al comienzo

bueno, si \( (z+1)^2=i \) entonces \( |z+1|=1 \) y el angulo formado con semieje de las x es \( \theta=\dfrac{\pi}2 \)

de modo se puede usar la formula de las raices

\( z+1=\cos{\dfrac{\theta+2\pi k}{2}}+i\sin {\dfrac{{\theta+2\pi k}}{2}} \)

así

\( z=-1+\cos{\dfrac{\pi/2+2\pi k}{2}}+i\sin {\dfrac{{\pi/2+2\pi k}}{2}} \)

siendo k=1 e igual 2