vamos a ver, la primera parte si la entiendo pero cuando haces \( (x+y)^n+(x+y)^{n-1}(z+t)+...+(x+y)^{n/2+1}(z+t)^{n/2-1} \)
esa parte no sé de donde la sacas
y desde hay ahí hasta \( 2*\displaystyle\sum_{i=1}^{n/2}{i(n+2-i)} \).. 
eso que te pongo ahi viene del binomio pero sin los coeficientes binomiales.. eso es antes de llegar a la expresion de ((x+y)(z+t))^{n/2}
osea, dentro del binomio es la parte que viene dada por
\( \displaystyle\sum_{i=0}^{n/2-1}{\displaystyle\binom{n}{i}(x+y)^{n-i}(z+t)^i} \)
notas el indice mayor de la sumatoria?
De ahi lo unico que te digo es que en cada uno de los terminos del binomio principal(osea \( (x+y)^{n-i}(z+t)^i \)) tiene que haber \( (i+1)*(n-i+1) \) terminos (por la misma idea que aplicamos al principio). y lo que digo despues es ya solo sumar todos los terminos para lo cual te queda lo de \( 2*\displaystyle\sum_{i=0}^{n/2-1}{(i+1)(n+1-i)} \) que es exactamente igual a \( 2*\displaystyle\sum_{i=1}^{n/2}{i(n+2-i)} \) que es lo que te he puesto arriba
