Autor Tema: Suma de cuadrados de medianas

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

30 Agosto, 2011, 10:33 am
Leído 325 veces

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,998
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
La suma de los cuadrados de las medianas de los triángulos rectángulos que tienen la misma hipotenusa es una cantidad constante.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

30 Agosto, 2011, 08:36 pm
Respuesta #1

Héctor Manuel

  • Lathi
  • Mensajes: 3,631
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Observemos la figura:



Entonces \( AF^2+BE^2+CD^2=AB^2+BF^2+\displaystyle\frac{AC^2}{4}+CB^2+BD^2 \)...(*), ya que por el teorema de Pitágoras se tiene \( AF^2=AB^2+BF^2 \) Y \( CD^2=BC^2+DB^2 \), y \( BE=\frac{AC}{2} \) por ser el segmento que une el vértice opuesto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con el punto medio de dicha hipotenusa.

Pero \( AB^2+BC^2=AC^2 \) Y \( BD^2+BF^2=FD^2=\frac{AC^2}{4} \), ya que \( FD \) es el segmento que une los puntos medios de dos de los lados de un triángulo, y por tanto mide la mitad del tercer lado.

En suma, sustituyendo en (*):

\( AF^2+BE^2+CD^2=AB^2+BF^2+\displaystyle\frac{AC^2}{4}+CB^2+BD^2=AC^2+\dfrac{AC^2}{4}+\dfrac{AC^2}{4} \)\( =\dfrac{3}{2}AC^2 \) que es constante para todos los triángulos rectángulos cuya hipotenusa mida \( AC \).

Saludos.