Autor Tema: Suma de distancias

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

24 Agosto, 2011, 11:03 pm
Leído 277 veces

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,998
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Demostrar que en un triángulo se verifica: si r es una recta que pasa por su baricentro y no pasa por ningún vértice, la suma de las distancias a dicha recta de los vértices que quedan en un mismo semiplano es igual a la distancia del tercer vértice a dicha recta.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

25 Agosto, 2011, 12:08 am
Respuesta #1

mathsandphysics

  • Novato
  • Mensajes: 175
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Que recuerdos! Este problema me lo pusieron en las Olimpiadas Locales de Alicante :) , primera fase. Lo resolví (aunque no sé si bien). Es muy dificil explicartelo por aquí, los cálculos son largos y estuve más de 1 hora dandole vueltas. Partí de la propiedad (propiedad que supuse, pues no la había leído antes en ningún sitio), que si el baricentro es el centro de garvedad del triángulo, una recta que pase por el dividirá al triángulo en dos partes de igual área (suponiendo un triángulo homogéneo). Por tanto, con el dibujito, has intentar dejar el área de cada lado en función de un segmento e igualar :D
¡Un saludo!

30 Agosto, 2011, 09:41 am
Respuesta #2

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,998
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea M el punto medio del lado BC del triángulo ABC y r la recta que pasa por el baricentro G.
Sean B’, A’, M’, C’ los pies de las perpendiculares a r trazadas por B, A, M, C, respectivamente.
El cuadrilátero BCC’B’ es un trapecio, por ser BB’ paralelo a CC’; MM’ es la paralela media, por tanto

\( MM'=\displaystyle\frac{BB'+CC'}{2}\Rightarrow{BB'+CC'=2MM'} \)      (1)

Por otra parte, los triángulos rectángulos  AA’G y MM’G son semejantes, porque los ángulos en G son opuestos por el vértice; entonces \( \displaystyle\frac{AA'}{MM'}=\displaystyle\frac{AG}{GM} \)

Por la propiedad del baricentro (*):\( \displaystyle\frac{AG}{GM}=2\Rightarrow{\displaystyle\frac{AA'}{MM'}=2}\Rightarrow{AA'=2MM'} \)       (2)
De (1) y (2) se deduce: \( BB'+CC'=AA' \)

(*) El baricentro G divide a cada mediana en dos partes, una doble de la otra; así en la mediana AM: AG=2GM
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker