Anterior <<Siguiente >>Futuras perspectivas del LogicismoRetornamos ahora al texto de nuestro libro de referencia, y proseguimos con unos párrafos dedicados a pensar "
cómo debiera ser un programa logicista en estos tiempos" si quisiera tener éxito.
Los comentarios que hacen los autores no son demasiado "discutibles", porque adelantan información sobre experiencia en el tema que ellos tienen, y que el lector no necesariamente tiene. Uno puede imaginar que tiene sentido lo que dicen, y según el caso, algunos de nosotros hasta seguramente pensamos lo mismo desde antes.
Pero las conclusiones globales requieren una mayor experiencia, la cual estamos "construyendo" justamente al seguir la lectura de este libro.
(Si ya tuviéramos dicha experiencia no necesitaríamos leer el libro. 
)
Pero bueno, por algo es un capítulo introductorio, y hay que aceptar que algunas cosas se nombren para ser desarrolladas más adelante.Discurren brevemente sobre cómo debiera ser un
programa logicista a la luz de los conocimientos actuales (los que tendremos que hacer de cuenta que "más o menos" tenemos, pero recordemos que más adelante tendremos que profundizar más para quitarnos las dudas).
En tal sentido, creen ellos que deben considerarse tres preguntas importantes:
- (i) ¿Cuáles serían los criterios para reconocer conceptos lógicos de aquellos que son no-lógicos?
- (ii) ¿Qué es lo que hace que un axioma o una regla sea lógica?
- (iii) ¿Cómo podemos reconocer algo como un axioma o regla lógica?
En realidad las tres preguntas me parecen muy parecidas.
Como sea, son preguntas bastante "lógicas". 
Yo mismo me hago estas preguntas todo el tiempo, y es que para hablar de algo lógicamente válido, necesito una buena razón para aceptar que lo es.
Muchas veces se oye a gente discutir sobre los Axiomas de la Teoría de Conjuntos,
diciendo cosas como "yo creo en el Axioma de Elección porque...".
Eso es un error de actitud.
Los Axiomas no son algo en lo que uno pueda "creer". La matemática no es un sistema de creencias más o menos razonables...
Eso podría haber pasado con los axiomas de la geometría en la época de Euclides, que intentaba indicar las propiedades elementales del espacio.
Pero hoy en día sabemos que la matemática es una construcción humana.
Sabemos también que una lista de Axiomas se da en forma deliberada.
Si un axioma se cambia por su negación, simplemente se obtiene otra lista de Axiomas.
Dada una lista de Axiomas, lo que uno debe exigir no es "si es creíble o no", sino "si ellos no se contradicen entre sí".
Bien, pero este principio de no-contradicción es un Axioma lógico.
Los Axiomas lógicos, una vez que uno los establece, también puede cuestionarse, y dar otros.
Así, pueden surgir nuevas formas de razonar, con sus propias reglas...
Este punto es delicado, porque involucra un cuestionamiento de las leyes del razonamiento que nos deja desamparados.
No podemos usar reglas de ningún tipo, entonces ¿cómo concluimos algo válido?
La respuesta no está, me parece, en negar la lógica, ni tampoco aceptarla sin más.
Más bien hay que pensar las cosas con más profundidad.
En este punto no quiero hacer esto, porque no quiero que se produzca un exceso de entusiasmo antes de tener suficientes conocimientos para debatir.
Así que voy dejando esas ideas en suspenso hasta más adelante.
Podemos resumir las preguntas anteriores en una sola:
- ¿Qué se entiende por lógica y/o razonamientos válidos?
Según afirman los autores, el problema de dar
caracterizar conceptos lógicos y principios lógicos permanece abierto aún en la actualidad.
Aún no hemos visto en detalle el sistema de
Frege, pero se afirma de él que aparece como un marco en el que la lógica aparece con toda su generalidad. Sin embargo esto es sólo "aparente", ya que es una sensación vaga. ¿Qué tan general es, en qué sentido?
¿Qué quiso hacer Frege?Recordemos que
Frege está relacionado a una
lógica de 2do orden, y que esto quiere decir más o menos, que se puede cuantificar sobre "propiedades", o sea, sobre "funciones proposicionales". Esto no importa mucho, salvo para la conclusión que sigue:
Se sabe que en
aritmética de 2do orden una afirmación es
verdadera si y sólo si se satisface en el
modelo pre-entendido (la palabra en inglés es "intended", y se refiere a una estructura que el matemático imagina más o menos en su mente, aunque no de modo formal).
Aquí queda de manifiesto la subyacente intención de un cierto matemático, y pareciera ser que su estructura imaginada se toma como "modelo" que cumple ciertos axiomas.
En el texto no queda esto muy claro. Habla de una estructura \( (N,0,S) \) donde uno se refiere a \( N \) como los números naturales, \( 0 \) como el "cero" y \( S \) como la operación de ir tomando el "sucesor".
No me queda claro qué tan formal o informal es este "modelo" del que está hablando.
No obstante, puede que no tenga relevancia en este punto de la discusión.
Aunque a veces puede entenderse el término "intended" como "estándar", diría que no necesariamente es el caso.
Y de todos modos, ¿cuál sería el modelo "estándar" de los naturales?
Pero si una afirmación es cierta en la
aritmética de 2do orden (o sea, aritmética de los números naturales en una lógica que permite cuantificar sobre proposiciones), entonces es cierta en
todos los modelos estándar de la aritmética de 2do orden.
No voy a probar esto acá, porque nos faltan muchas bases teóricas.
Sin embargo, para sentir mejor el aroma del contexto, recordemos algunas cosas que ocurren en la aritmética de 2do orden.
Por ejemplo, el principio de inducción, que puede enunciarse en forma proposicional, así:
\( \forall{P}:[P(0)\wedge(\forall{n\in\mathbb{N}}:P(n)\Rightarrow{P(n+1)})]\Rightarrow{[\forall{n\in\mathbb{N}}:P(n)]} \)
Aquí, \( P(\cdot ) \) es una función proposicional.
Nos dice que, para toda función proposicional \( P(n) \) que depende de los números naturales \( n \), si \( P(0) \) es cierta, y si \( P(n) \) implica siempre la validez de \( P(n+1) \), entonces \( P(n) \) es cierta para todo \( n\in\mathbb{N} \).
Esta forma "proposicional" del Principio de Inducción es la que suele enseñarse.
Pero al hacerlo así le "enchufan" a uno una lógica de 2do orden, pero sin embargo después resulta que no tenemos tanta libertad, sino que lo formalmente aceptado es una aritmética construida en una teoría de conjuntos ZFC escrita en lenguaje de 1er orden, lo cual es más restringido, porque, sencillamente, no podemos cuantificar sobre "funciones proposicionales".
En una teoría de conjuntos con "clases propias" como MK ó NGB, toda función proposicional está asociada a una clase (propia o no), y si bien no está permitido cuantificar sobre "funciones proposicionales", es posible hacerlo indirectamente pasando por las "clases" que ellas definen.
Desconozco por ahora el alcance de este método de trabajo, pero tengo la sospecha de que aún así no se llega a tener todo el poder expresivo de una teoría de 2do orden.
Estas fuertes propiedades de equivalencia teórica entre cualesquiera sistemas de
números naturales dan la idea de que, si uno fuera capaz de brindar dentro de la lógica misma "algo" con las propiedades de los números naturales, esto satisfaría las propiedades de Dedekind-Peano, y podríamos usar con confianza los números naturales desde el principio, en cualquier contexto matemático.
En particular el muy importante
Principio de Inducción.
Frege intentó algo así. Su invento fue un
sistema lógica de alto orden (yo diría que en realidad fue de un orden mayor que 2, pero es posible ver en teoría de lenguajes formales que equivale más o menos a tener un lenguaje de 2do orden, o sea que...), que además tenía una teoría de
extensión de conceptos.
Esto último me lo imagino, pero aún no sé qué es. Lo veremos al introducirnos en el sistema de FregeSu sistema pretendía incluir a los
números naturales con sus poderosas propiedades antes descriptas.
Es muy conocido que este sistema así hecho, al agregarle la parte aritmética, quedó
inconsistente.
O sea que fue un error.
Pero aún si este error se subsanara, el resultado obtenido sería una teoría que abarca en su seno una aritmética de 2do orden, lo cual se sabe que acarrea los problemas del
Primer Teorema de incompletitud de Godel, el cual implica que ningún sistema formal será capaz de brindar la demostración de toda sentencia de la aritmética de 2do orden que sea verdadera.
Como no toda sentencia aritmética es susceptible de demostración en un sistema formal prefijado, habría que conformarse con algo más débil.
En resumen, la característica principal del Logicismo es esto de intentar subordinar la teoría de los números naturales a un subsistema o subproducto de la lógica, entendiendo por lógica algún sistema formal bastante amplio (permiento múltiples grados de abstracción) de reglas de inferencia.Si bien este intento fracasó, hay partes de la teoría de
Frege que son salvables, y por eso lo estudiaremos.
Es el primer paso obligado en la comprensión del
Logicismo.
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