Autor Tema: Suma de razones

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30 Julio, 2011, 04:14 pm
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Michel

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Desde los vértices de un triángulo ABC se trazan tres rectas que se cortan en O y cortan a los tres lados opuestos en D, E y F, respectivamente. Demostrar que DO/AD+EO/BE+FO/CF=1.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

17 Agosto, 2011, 06:15 pm
Respuesta #1

Michel

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Los triángulos OBC y ABC tienen la misma base BC, por lo que sus áreas son proporcionales a las alturas OH y OH', que a su vez son proporcionales a DO y AD, por semejanza de triángulos:
                         (OBC)/(ABC)=OH/AH'=DO/AD

Análogamente para los triángulos OCA y ABC: (OCA)/(ABC)=EO/BE

Y para los triángulos OAB y ABC: (OAB)/(ABC)=FO/CF

Sumando las tres igualdades:  (OBC)/(ABC)+(OCA)/(ABC)+(OAB)/(ABC)=DO/AD+EO/BE+FO/CF

El primer miembro de esta igualdad vale (ABC)/(ABC)=1, quedando demostrada la igualdad.

Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker