Consideremos los triángulos ABD y ADC.
Si tomamos como bases AB=c y AC=b, las alturas respectivas son DH y DH', que son iguales porque todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados; y si dos triángulos tienen la misma altura, sus áreas son proporcionales a las bases: (ABD)/(ADC)=c/b (1)
Si consideramos como bases de esos triángulos los segmentos BD y DC, los dos tienen la misma altura AH''; entonces sus áreas son proporcionales a las bases: (ABD)/(ADC)=BD/DC (2)
De (1) y (2) resulta: BD/DC=c/b, o también BD/c=DC/b, como queríamos demostrar.
Podemos hallar los dos segmentos en función de los lados; por una conocida propiedad de las proporciones:
BD/c=DC/b=(BD+DC)/c+b=a/(c+b), de donde BD=ac/(c+b) y DC=ab/(c+b)