[Michel]

En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior del ángulo A, que corta al lado opuesto en D. Demostrar que los segmentos BD y DC son proporcionales a los lados AB y AC, y determinar esos segmentos en función de los lados del triángulo.

[Michel]

Consideremos los triángulos ABD y ADC.
Si tomamos como bases AB=c y AC=b, las alturas respectivas son DH y DH', que son iguales porque todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados; y si dos triángulos tienen la misma altura, sus áreas son proporcionales a las bases: (ABD)/(ADC)=c/b     (1)

Si consideramos como bases de esos triángulos los segmentos BD y DC, los dos tienen la misma altura AH''; entonces sus áreas son proporcionales a las bases: (ABD)/(ADC)=BD/DC     (2)

De (1) y (2) resulta: BD/DC=c/b, o también BD/c=DC/b, como queríamos demostrar.

Podemos hallar los dos segmentos en función de los lados; por una conocida propiedad de las proporciones:
BD/c=DC/b=(BD+DC)/c+b=a/(c+b), de donde BD=ac/(c+b)  y  DC=ab/(c+b)