Autor Tema: det(A.B)=det(A).det(B), necesito demostrar esto.

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29 Julio, 2011, 08:13 pm
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javier m

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hola, necesito demostrar que el determinate de un producto de matrices es igual al producto del determinante de cada matriz (\( |A.B|=|A||B| \))

la verdad no se me ocurre ni por donde empezar, así que si quieren darme una ayuda, o darme un link o un libro que tenga la demostración, se los agradecería.

29 Julio, 2011, 08:32 pm
Respuesta #1

Máthêma

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29 Julio, 2011, 08:33 pm
Respuesta #2

Tanius

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En el libro de álgebra lineal de Friedberg viene la demostración en la parte de "propiedades de los determinantes". Es un tanto engorrosa porque necesitas demostrar primero que una matriz invertible se descompone como producto de matrices elementales.

Se me adelantó Máthêma  :)

30 Julio, 2011, 02:58 am
Respuesta #3

javier m

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30 Julio, 2011, 04:28 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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Existe otra manera más elegante, pero usa los conceptos de forma n-lineal alternada y de determinante de una aplicación lineal.

31 Julio, 2011, 07:35 am
Respuesta #5

Máthêma

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Hola,

Existe otra manera más elegante, pero usa los conceptos de forma n-lineal alternada y de determinante de una aplicación lineal.

¿Podrías darnos un enlace o hacer un esbozo de la demostración? Gracias y saludos.
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31 Julio, 2011, 09:56 am
Respuesta #6

feriva

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Hola. Partiendo de que el término independiente del polinomio característico de una matriz es el determinante de la matriz, quizá se podría demostrar (asumiendo que esto está demostrado o demostrándolo previamente).  Una vez hecho esto, está claro que el producto de los polinomios característicos de dos matrices tiene como término independiente el producto de los determinantes de esas matrices; puesto que es el término independiente de lambda no puede ser de otra manera, por lo que tal cosa no requiere más demostración. A partir de aquí, utilizando alguna recurso más, como pudiera ser el teorema de Hamilton-Cayley o algún otro, tal vez se podría hacer una demostración no muy larga (es sólo una sugerencia por si alguien quiere intentarlo, no lo he pensado con papel y lápiz).

Saludos.

31 Julio, 2011, 11:27 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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31 Julio, 2011, 12:01 pm
Respuesta #8

Fernando Revilla

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Hola. Partiendo de que el término independiente del polinomio característico de una matriz es el determinante de la matriz, quizá se podría demostrar (asumiendo que esto está demostrado o demostrándolo previamente). 

El problema es que para \( A\in\mathbb{K}^{n\times n} \) sabemos que \( \det (A)=\chi_A(0) \), pero no conocemos las relaciones entre \( \chi_A,\chi_B \) y \( \chi_{AB} \).

31 Julio, 2011, 12:37 pm
Respuesta #9

feriva

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Hola. Partiendo de que el término independiente del polinomio característico de una matriz es el determinante de la matriz, quizá se podría demostrar (asumiendo que esto está demostrado o demostrándolo previamente). 

El problema es que para \( A\in\mathbb{K}^{n\times n} \) sabemos que \( \det (A)=\chi_A(0) \), pero no conocemos las relaciones entre \( \chi_A,\chi_B \) y \( \chi_{AB} \).

Hola, Fernando. Y partiendo de la hipótesis \( |A||B|\neq|AB| \) para después entrar en la consideración del producto de sus polinomios característicos, ¿no se podría concluir de alguna manera que la hipótesis es falsa?

 Saludos.