Autor Tema: Comparar triángulos

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26 Julio, 2011, 09:16 am
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Michel

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Se tiene un triángulo ABC rectángulo en A y la circunferencia que tiene por diámetro la altura AH. Esta circunferencia corta a AB en E y a AC en F.
a) ¿Cuál es la naturaleza del cuadrilátero AEHF?
b) Comparar los triángulos ABC y AFE. Establecer que AE·AB=AF·AC.
c) Comparar los triángulos ABH y AHC. Establecer que BH·HC=4EO·OF, siendo O el punto medio de EF.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

29 Julio, 2011, 05:59 pm
Respuesta #1

Michel

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a)Los ángulos en F y E del cuadrilátero AEHF son rectos por ser inscritos y abarcar 180º; el ángulo A es recto por construcción; el ángulo en H será también recto, porque la suma de los ángulos de un cuadrilátero vale cuatro rectos. Se trata, pues, de un rectángulo.

b) Los triángulos ABC y AFE son rectángulos; además
                    áng CBA=(180º-arc HE)/2=arc AE/2 por exterior
                    áng AFE=arc AE/2 por inscrito
luego son iguales.

Entonces los dos triángulos son semejantes, por lo que AE/AC=AF/AB, de donde AE·AB=AF·AC..

c) Los triángulos rectángulos ABH y AHC son semejantes, por ser áng HBA=áng CAH; luego
AH/HC=BH/AH, de donde 2EO/HC=BH/2OF, por lo que BH·HC=4EO·OF

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Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker