La palabra
isomorfismo es quizá una de las más importantes de toda la matemática.
Etimológicamente significa "
de la misma forma".
En matemática se trabaja con
abstracciones, y esto es por una razón práctica concreta:
- Si dos entidades matemáticas tienen propiedades formales análogas,
entonces conviene ahorrar trabajo escribiendo los cálculos y demostraciones una sola vez,
y luego decir que las dos entidades satisfacen las mismas propiedades,
con lo cual les valen las mismas consecuencias lógicas.
La
abstracción se logra definiendo una
estructura.
Una
estructura se especifica dando unos
objetos de los cuales no se define nada, salvo una lista de
enunciados que indican cómo interactúan esos
objetos. Estos
enunciados pueden llamarse también
propiedades, o mejor aún,
axiomas.
Al aislar estas propiedades se obtiene una de las ganancias fundamentales en el conocimiento matemático:
- Se puede comprender qué ciertos hechos o consecuencias lógicas obtenidos en una teoría
no dependen de un sistema particular de objetos,
sino que dependen de las propiedades o axiomas estipulados. - Luego, es posible juzgar si con muchas menos propiedades que las que uno inicialmente había supuesto
es aún posible demostrar la misma clase de Teoremas.
Un ejemplo de esto podría ser la noción de límite en
el plano de los números complejos.
Muchas nociones de límite de sucesiones que se aproximan a un punto dado, pueden demostrarse en forma más general bajo la teoría de los
espacios vectoriales normados completos, y luego se puede uno abstraer mucho más usando la teoría de los
espacios métricos, y por último la teoría de los
espacios topológicos localmente compactos con base local numerable, entre otras posibilidades.
Estas abstracciones siguen una dirección determinada dada por un aspecto específico de los números complejos: la
noción de convergencia.
Si uno se abstrae por el lado de las propiedades algebraicas de los números complejos tiene que avanzar en otra dirección: teoría de
cuerpos conmutativos.
A veces ocurre que no sólo hallamos dos entidades matemáticas que comparten
propiedades de una misma estructura, sino que ambas entidades serían
indistinguibles entre sí, si sólo se tienen en cuenta los
axiomas de la estructura subyacente.
Pongamos un ejemplo simple: la estructura de
grupo conmutativo de orden 3.
Una entidad matemática satisface esa estructura si es una
terna ordenada \( (G,*,e) \) de objetos que cumple las siguientes propiedades:
- Un objeto \( e \) cualquiera, llamado elemento identidad,
- un conjunto \( G=\{e,f,g\} \) de 3 elementos, que como se ve contiene a \( e \),
- y una operación \( *:G\times G\to G \)
que cumplen las siguientes propiedades:
- Ley asociativa: Para cualesquiera \( x,y,z\in G: \) \( (x*y)*z=x*(y*z) \).
- Ley de identidad: Para todo \( x\in G \): \( x*e=x \).
- Ley del inverso: Para todo \( x\in G \), existe \( y\in G \) talq ue \( x*y=e \).
- Ley conmutativa: Para cualesquiera \( x,y\in G \): \( x*y=y*x \)
Si habláramos de grupos de orden 80, habría muchas operaciones \( * \) posibles que podemos definir, satisfaciendo las 4 propiedades de grupo conmutativo.
Pero vamos a demostrar que cuando el orden es 3, hay sólo una posibilidad.Antes que nada, necesitamos demostrar un hecho sencillo:
Sea pues \( (G,e) \) un par dado, donde \( G \) es un conjunto de 3 elementos que contiene al elemento \( e \), digamos \( G=\{e,f,g\} \).
Nos preguntamos cuántas operaciones \( * \) podemos definir de manera que \( (G,*,e) \) sea un
grupo conmutativo, y tal que \( e \) sea el
elemento identidad.
La respuesta es que sólo hay una tal \( * \) posible, y los detalles los damos en el
desplegable:
La tabla de la operación \( * \) quedó ahora perfectamente determinada, así:
\( \begin{bmatrix}* &\vline& e & f & g \\\hline e &\vline& e & f &g\\f&\vline&f&g&e \\ g &\vline&g &e & f\end{bmatrix} \)
Ahora consideremos dos grupos conmutativos de orden 3 \( (G_1,*_1,e_1) \) y \( (G_2,*_2,e_2) \), con elementos \( G_1=\{e_1,f_1,g_1\} \), \( G_2=\{e_2,f_2,g_2\} \).
Deberíamos especificar unas tablas para las operaciones \( *_1,*_2 \).
Siguiendo el análisis previamente indicado, llegaríamos a las siguientes tablas para dichas operaciones:
\( \begin{bmatrix}*_1 &\vline& e_1 & f_1 & g_1 \\\hline e_1&\vline& e_1 & f_1 &g_1\\f_1&\vline&f_1&g_1&e_1 \\ g_1 &\vline&g_1 &e_1 & f_1\end{bmatrix},\qquad \begin{bmatrix} *_2 &\vline& e_2 & f_2 & g_2 \\\hline e_2 &\vline& e_2 & f_2 &g_2\\f_2&\vline&f_2&g_2&e_2 \\ g_2 &\vline&g_2 &e_2 & f_2\end{bmatrix} \)
Como puede apreciarse, lo único que hemos hecho es un "
cambio de etiquetas".
A los elementos \( e_1,f_1,g_1 \), los hemos reetiquetado, en ese orden, como \( e_2,f_2,g_2 \).
Obviamente 
toda consecuencia o teorema que se deduzca en el grupo \( G_1 \) seguirá siendo válido en \( G_2 \), porque lo único que hemos de llevar a cabo es un "
cambio de etiquetas".
Esto que es tan obvio amerita una "
demostración".
¿Cómo se demuestra esto?
¿Cómo decimos que "
un teorema en \( G_1 \) es igualmente válido en \( G_2 \), y viceversa"?
No podemos dedicarnos todo el tiempo a corroborar todos los teoremas posibles...
Necesitamos una manera de asegurar que, matemáticamente, tanto \( G_1 \) como \( G_2 \) son
equivalentes en lo que a la
teoría de grupos conmutativos de orden 3 se refiere.
Es aquí donde entran en juego los
isomorfismos.
En nuestro ejemplo, un isomorfismo sería un simple reetiquetamiento, que actúa así:
El isomorfismo entre \( G_1 \) y \( G_2 \) sería una función \( \phi :G_2\to G_2 \) tal que \( \phi (e_1)=e_2,\phi (f_1)=f_2,\phi (g_1)=g_2 \).
Observemos que, en particular, hay otros isomorfismos posibles.
Por ejemplo, si intercambiamos los papeles de \( f_2 \) y \( g_2 \), se sigue obteniendo una tabla de
grupo conmutativo de orden 3, y esto nos determina un isomorfismo distinto.
Lo extraño de este caso es que, a pesar de que tenemos dos isomorfismos, la estructura de grupo determinada sobre \( G_2 \) es la misma.
O sea que, para obtener la misma tabla de valores para el producto \( * \), no necesariamente se necesita de un isomorfismo "identidad".
En la teoría matemática estándar actual, escrita en el lenguaje de
ZFC (
Zermelo-Fraenkel con Axioma de Elección), las estructuras y todo tipo de relaciones entre ellas se describen con conjuntos, o con funciones (las cuales son también conjuntos, técnicamente hablando).
En la modernidad hay un auge de una teoría mucho más abstracta, que es la de
Categorías.
Su lenguaje es ideal para expresar relaciones entre estructuras, pero soy algo escéptico de usarla en forma seria, porque hasta donde sé no hay actualmente estudios de consistencia sobre dicha teoría.
De todas formas, las "
ideas" de las categorías surgieron en una teoría amparada en el estándar
ZFC, que es la
Topología Algebraica. Son ideas interesantes que conviene tener en cuenta como guía a la hora de estudiar relaciones extremadamente abstractas entre objetos matemáticos, aún dentro de
ZFC.
Como considero oportuno mantenerse en lo posible dentro de lo canónico, para tener una base legal común y un lenguaje común, me voy a mantener en los límites de ZFC, pero me permitiré aprovechar las ideas de las categorías, si es que hace falta.
Lo que voy a hacer en el siguiente post es dar lo que considero es una definición correcta de
isomorfismo, y luego analizar algunos casos importantes.
