Autor Tema: Dictado del Taller de: Números naturales, inducción, conteo.

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10 Octubre, 2011, 03:59 am
Respuesta #10

argentinator

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Lógica Argumentativa.

Algunas reflexiones previas.

La argumentación, la dialéctica, son el intento de convencer a otro con el palabrerío.

Los seres humanos, con nuestra natural tendencia a dominar sobre los otros, solemos hacer trampas para convencer a los demás.
A veces lo hacemos sin darnos cuenta, por mero instinto de preservación, por la porfía de tener la razón, o por el mero deseo de ganarle al "rival".  ;)

En una discusión, a fin de no ser tratados injustamente, necesitamos leyes clara de razonamiento que nos permitan discernir si cada afirmación de nuestro interlocutor es verdadera o falsa.

Los trucos para mentir, convencer y socavar son muchos.
Por lo tanto hay que estar alertas y aprender a reconocer los discursos tramposos.

Más importante todavía, debemos aprender a no engañarnos a nosotros mismos con errores en nuestras reflexiones o modos de inferencia.

Finalmente, para construir conocimiento fiable, se requiere algún criterio universalmente válido que nos dé confianza en el conocimiento obtenido, así como la posibilidad de obtener nuevo conocimiento a partir de conocimientos previos.


¿Qué es la lógica?

Los antiguos filósofos griegos reflexionaron sobre este tema, y Aristóteles sistematizó la cuestión en una rama de conocimiento llamada Lógica.

La lógica es el arte de deducir conclusiones verdaderas a partir de previas afirmaciones también verdaderas.

En la época medieval George Boole se dio cuenta que podía construirse un álgebra para la lógica, que hoy llamamos Álgebra de Boole.
Esto quiere decir que los valores de verdad y falsedad pueden calcularse.

  • 1era cuestión: ¿Cómo sabemos que una afirmación es verdadera o falsa?

    Si tenemos ante nosotros una afirmación del tipo:

    "el sujeto \( S \) tiene la propiedad \( P \)"

    se supone que tenemos información previa del sujeto \( S \), que nos permite inferir o darnos cuenta si satisface o no la propiedad \( P \).

    O sea que, inferimos si la afirmación es Verdadera o Falsa, en virtud de la información previa que tenemos sobre \( S \) y \( P \), que ya damos por verdadera.
  • 2da. cuestión: ¿Cómo se hace para realizar estas inferencias?

    Se logra aplicando unas reglas de inferencia.
    Una regla de inferencia consta de dos partes: una premisa, y una conclusión.
    Si la premisa es verdadera, y la regla de inferencia es correcta, entonces la conclusión es verdadera también.

  • 3ra cuestión: ¿Qué es una regla de inferencia, y cómo sabemos que es correcta?
  • 4ta cuestión: ¿Puede haber afirmaciones que no sean verdaderas ni falsas?
  • 5ta cuestión: ¿Qué es una afirmación?
  • 6ta. cuestión: ¿Qué es lo verdadero y/o lo falso? ¿Hay un criterio absoluto para determinarlo?
  • 7ma cuestión: ¿Es válido aplicar la lógica al lenguaje? ¿Qué recaudos hay que tomar?


04 Marzo, 2012, 06:52 pm
Respuesta #11

argentinator

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La palabra isomorfismo es quizá una de las más importantes de toda la matemática.
Etimológicamente significa "de la misma forma".

En matemática se trabaja con abstracciones, y esto es por una razón práctica concreta:

  • Si dos entidades matemáticas tienen propiedades formales análogas,
    entonces conviene ahorrar trabajo escribiendo los cálculos y demostraciones una sola vez,
    y luego decir que las dos entidades satisfacen las mismas propiedades,
    con lo cual les valen las mismas consecuencias lógicas.

La abstracción se logra definiendo una estructura.

Una estructura se especifica dando unos objetos de los cuales no se define nada, salvo una lista de enunciados que indican cómo interactúan esos objetos. Estos enunciados pueden llamarse también propiedades, o mejor aún, axiomas.

Al aislar estas propiedades se obtiene una de las ganancias fundamentales en el conocimiento matemático:

  • Se puede comprender qué ciertos hechos o consecuencias lógicas obtenidos en una teoría
    no dependen de un sistema particular de objetos,
    sino que dependen de las propiedades o axiomas estipulados.
  • Luego, es posible juzgar si con muchas menos propiedades que las que uno inicialmente había supuesto
    es aún posible demostrar la misma clase de Teoremas.

Un ejemplo de esto podría ser la noción de límite en el plano de los números complejos.
Muchas nociones de límite de sucesiones que se aproximan a un punto dado, pueden demostrarse en forma más general bajo la teoría de los espacios vectoriales normados completos, y luego se puede uno abstraer mucho más usando la teoría de los espacios métricos, y por último la teoría de los espacios topológicos localmente compactos con base local numerable, entre otras posibilidades.

Estas abstracciones siguen una dirección determinada dada por un aspecto específico de los números complejos: la noción de convergencia.

Si uno se abstrae por el lado de las propiedades algebraicas de los números complejos tiene que avanzar en otra dirección: teoría de cuerpos conmutativos.



A veces ocurre que no sólo hallamos dos entidades matemáticas que comparten propiedades de una misma estructura, sino que ambas entidades serían indistinguibles entre sí, si sólo se tienen en cuenta los axiomas de la estructura subyacente.

Pongamos un ejemplo simple: la estructura de grupo conmutativo de orden 3.
Una entidad matemática satisface esa estructura si es una terna ordenada \( (G,*,e) \) de objetos que cumple las siguientes propiedades:

    • Un objeto \( e \) cualquiera, llamado elemento identidad,
    • un conjunto \( G=\{e,f,g\} \) de 3 elementos, que como se ve contiene a \( e \),
    • y una operación \( *:G\times G\to G \)

    que cumplen las siguientes propiedades:

    • Ley asociativa: Para cualesquiera \( x,y,z\in G: \) \( (x*y)*z=x*(y*z) \).
    • Ley de identidad: Para todo \( x\in G \): \( x*e=x \).
    • Ley del inverso: Para todo \( x\in G \), existe \( y\in G \) talq ue \( x*y=e \).
    • Ley conmutativa: Para cualesquiera \( x,y\in G \): \( x*y=y*x \)

Si habláramos de grupos de orden 80, habría muchas operaciones \( * \) posibles que podemos definir, satisfaciendo las 4 propiedades de grupo conmutativo.
Pero vamos a demostrar que cuando el orden es 3, hay sólo una posibilidad.

Antes que nada, necesitamos demostrar un hecho sencillo:

  • El elemento inverso de cada \( x \) en un grupo conmutativo \( G \), es único, y se lo denota \( x^{-1} \).
  • Demostración: Dado \( x\in G \), sean \( y,z\in G \) elementos tales que \( x*y=e=x*z \).
    Por Ley de Identidad, Ley Conmutativa y Ley Asociativa:

    \( y=y*e=y*(x*z)=(y*x)*z=(x*y)*z=e*z=z*e=z. \)

    (El hecho anterior es cierto aún sin suponer la Ley Conmutativa, pero el usarla nos simplifica la exposición).

Sea pues \( (G,e) \) un par dado, donde \( G \) es un conjunto de 3 elementos que contiene al elemento \( e \), digamos \( G=\{e,f,g\} \).
Nos preguntamos cuántas operaciones \( * \) podemos definir de manera que \( (G,*,e) \) sea un grupo conmutativo, y tal que \( e \) sea el elemento identidad.

La respuesta es que sólo hay una tal \( * \) posible, y los detalles los damos en el desplegable:

Spoiler
  • Como \( e \) es el elemento identidad, por la Ley de Identidad se tiene que

    \( e*e=e,\quad f*e=f,\quad g*e=g. \)

    Aplicando a esas igualdades la Ley Conmutativa, nos queda que:

    \( e*f=f,\quad e*g=g. \)
  • A continuación, por la Ley Conmutativa sabemos que:

    \( f*g=g*f \)

    No sabemos cuánto nos tiene que dar exactamente \( f*g \) ó \( g*f \), pero por ahora sabemos que nos ha de dar el mismo valor.

  • Vamos a demostrar que no puede ocurrir \( f*f=e \).
    En efecto, existe por Ley del Inverso un elemento \( x\in G \) tal que \( f*x=e \).
    Por el Teorema de unicidad del inverso, este inverso es único, con lo cual \( x=f \).

    ¿Cuál es el inverso de \( g \)?
    No puede ser \( g^{-1}=e \), pues si no: \( g=g* e=g* g^{-1}=e \).
    No puede ser \( g^{-1}=f \), pues si no: \( f=e*f=(g*f)*f=g*(f*f)=g*e=g \).
    Luego la única posibilidad es que \( g^{-1}=g \), con lo cual \( g*g=e \).

    ¿Cuánto es \( f*g \)?
    No puede ser \( f*g=e \) por la unicidad del inverso de \( f \).
    No puede ser \( f*g=f \) porque \( e=f*f=f*(f*g)=(f*f)*g=e*g=g \), absurdo.
    No puede ser \( f*g=g \) porque \( e=g*g=(f*g)*g=f*(g*g)=f*e=f \), absurdo.

    Es así que \( f*g \) no puede tener un valor asignado de forma que \( * \) cumpla las propiedades de grupo conmutativo en \( G \).
  • De la misma forma, se puede demostrar que no puede ocurrir \( g*g=e. \)
  • Vamos a probar que no puede ocurrir que \( f*f=f \).

    Si así ocurriera, tendríamos: \( f=e*f=(f^{-1}*f)*f=f^{-1}*(f*f)=f^{-1}*f=e \), absurdo.

    De la misma manera no puede ocurrir que \( g*g=g \).
  • Ya que no puede ocurrir que \( f*f=e \), ni que \( f*f=f \), sólo puede ocurrir que \( f*f=g \).
    De la misma manera, sólo puede ocurrir que \( g*g=f \).
  • El inverso de \( f \) no puede ser \( e \) (pues \( e=e*e=(f*e)*e=f*(e*e)=f*e=f \), absurdo),
    ni tampoco puede ser \( f \) pues hemos probado que no puede ocurrir que \( f*f=e \).

    Así, el inverso de \( f \) es necesariamente \( g \).

    De la misma manera el inverso de \( g \) será \( f \).

  • En particular esto prueba que \( f*g=e, \) y \( g*f=e \).
[cerrar]

La tabla de la operación \( * \) quedó ahora perfectamente determinada, así:

\(  \begin{bmatrix}* &\vline& e & f & g \\\hline e &\vline& e & f &g\\f&\vline&f&g&e  \\ g &\vline&g &e & f\end{bmatrix} \)

Ahora consideremos dos grupos conmutativos de orden 3 \( (G_1,*_1,e_1) \) y \( (G_2,*_2,e_2) \), con elementos \( G_1=\{e_1,f_1,g_1\} \), \( G_2=\{e_2,f_2,g_2\} \).

Deberíamos especificar unas tablas para las operaciones \( *_1,*_2 \).
Siguiendo el análisis previamente indicado, llegaríamos a las siguientes tablas para dichas operaciones:

\(  \begin{bmatrix}*_1 &\vline& e_1 & f_1 & g_1 \\\hline e_1&\vline& e_1 & f_1 &g_1\\f_1&\vline&f_1&g_1&e_1  \\ g_1 &\vline&g_1 &e_1 & f_1\end{bmatrix},\qquad  \begin{bmatrix} *_2 &\vline& e_2 & f_2 & g_2 \\\hline e_2 &\vline& e_2 & f_2 &g_2\\f_2&\vline&f_2&g_2&e_2  \\ g_2 &\vline&g_2 &e_2 & f_2\end{bmatrix} \)


Como puede apreciarse, lo único que hemos hecho es un "cambio de etiquetas".
A los elementos \( e_1,f_1,g_1 \), los hemos reetiquetado, en ese orden, como \( e_2,f_2,g_2 \).
Obviamente  ;)  >:D toda consecuencia o teorema que se deduzca en el grupo \( G_1 \) seguirá siendo válido en \( G_2 \), porque lo único que hemos de llevar a cabo es un "cambio de etiquetas".

Esto que es tan obvio amerita una "demostración".
¿Cómo se demuestra esto?
¿Cómo decimos que "un teorema en \( G_1 \) es igualmente válido en \( G_2 \), y viceversa"?

No podemos dedicarnos todo el tiempo a corroborar todos los teoremas posibles...
Necesitamos una manera de asegurar que, matemáticamente, tanto \( G_1 \) como \( G_2 \) son equivalentes en lo que a la teoría de grupos conmutativos de orden 3 se refiere.

Es aquí donde entran en juego los isomorfismos.

En nuestro ejemplo, un isomorfismo sería un simple reetiquetamiento, que actúa así:

El isomorfismo entre \( G_1 \) y \( G_2 \) sería una función \( \phi :G_2\to G_2 \) tal que \( \phi (e_1)=e_2,\phi (f_1)=f_2,\phi (g_1)=g_2 \).

Observemos que, en particular, hay otros isomorfismos posibles.
Por ejemplo, si intercambiamos los papeles de \( f_2 \) y \( g_2 \), se sigue obteniendo una tabla de grupo conmutativo de orden 3, y esto nos determina un isomorfismo distinto.
Lo extraño de este caso es que, a pesar de que tenemos dos isomorfismos, la estructura de grupo determinada sobre \( G_2 \) es la misma.
O sea que, para obtener la misma tabla de valores para el producto \( * \), no necesariamente se necesita de un isomorfismo "identidad".




En la teoría matemática estándar actual, escrita en el lenguaje de ZFC (Zermelo-Fraenkel con Axioma de Elección), las estructuras y todo tipo de relaciones entre ellas se describen con conjuntos, o con funciones (las cuales son también conjuntos, técnicamente hablando).

En la modernidad hay un auge de una teoría mucho más abstracta, que es la de Categorías.
Su lenguaje es ideal para expresar relaciones entre estructuras, pero soy algo escéptico de usarla en forma seria, porque hasta donde sé no hay actualmente estudios de consistencia sobre dicha teoría.

De todas formas, las "ideas" de las categorías surgieron en una teoría amparada en el estándar ZFC, que es la Topología Algebraica. Son ideas interesantes que conviene tener en cuenta como guía a la hora de estudiar relaciones extremadamente abstractas entre objetos matemáticos, aún dentro de ZFC.

Como considero oportuno mantenerse en lo posible dentro de lo canónico, para tener una base legal común y un lenguaje común, me voy a mantener en los límites de ZFC, pero me permitiré aprovechar las ideas de las categorías, si es que hace falta.


Lo que voy a hacer en el siguiente post es dar lo que considero es una definición correcta de isomorfismo, y luego analizar algunos casos importantes.