Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación del Curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013

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31 Julio, 2011, 07:31 am
Respuesta #10

Máthêma

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Hola,
Siento la tardanza para subir los ejercicios. He visto los de la sección 2, la mayoría los he hecho antes varias veces, así que escribiré los de uniones, intersecciones arbitrarias de conjuntos, no sé si sea un razonamiento muy corto.

Sea \( f:A\rightarrow{B},\{ B_k \}_{k\in I} \) una familia de subconjuntos de B y \( \{ A_i \}_{i\in M } \) una familia de subconjuntos de A. Demuestre que:

2.2.b) \( f^{-1}(\bigcup_{k\in I}B_k)=\bigcup_{k\in I}f^{-1} (B_k) \)

Dem. Sea \( a\in f^{-1}(\bigcup_{k\in I}B_k) \), por definición \( f(a) \in \bigcup_{k\in I}B_k \), luego existe un \( k_0 \in I \) tal que \( f(a)\in B_{k_0} \), lo que quiere decir que \( a\in f^{-1}(B_{k_0}) \) y como basta con que el elemento a esté en un conjunto para que pertenezca a toda la unión: \( a \in \bigcup_{k\in I}(f^{-1}(B_k)) \). De lo que se sigue que \( f^{-1}(\bigcup_{k\in I}B_k)\subset\bigcup_{k\in I}f^{-1}( B_k ). \) La otra contenencia es bastante parecida.

2.2.c) \( f^{-1}(\bigcap_{k\in I}B_k)=\bigcap_{k\in I}f^{-1}(B_k) \)

Dem. Sea \( a \in f^{-1}(\bigcap_{k\in I}B_k) \), por definición \( f(a) \in \bigcap_{k\in I}B_k \), es decir que para todo \( k\in I \quad f(a)\in B_k \), luego se cumple que \( a \in f^{-1}(B_k) \quad \forall{k\in I} \) lo que implica que \( a\in f^{-1}(\bigcap_{k\in I}B_k) \), con lo que queda demostrado que \( f^{-1}(\bigcap_{k\in I}B_k)\subset\bigcap_{k\in I}f^{-1}(B_k) \). La otra contenencia es bastante parecida.

2.2.g) \( f(\bigcap_{i\in M}A_i)\subset\bigcap_{i \in M}f(A_i) \)

Dem. Sea \( b\in f(\bigcap_{i\in M}A_i) \), luego por definición \( b=f(a) \) para algún \( a\in \bigcap_{i\in M}A_i \), pero eso significa que \( a\in A_i \quad (\forall{i\in M}) \), por definición \( b\in f(A_i) \quad (\forall{i\in M}) \), lo que quiere decir que \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \). Y así queda demostrado.

Veamos que se tiene la igualdad si f es inyectiva. Sea \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \), luego \( b\in f(A_i) \quad (\forall{i\in M}) \) y por definición de este conjunto \( b=f(a) \) para algún (al ser f inyectiva en este caso es único*) \( a\in A_i \;(\forall{i\in M})\implies a\in \bigcap_{i\in M}A_i \) y de lo que se concluye que \( b\in f(\bigcap_{i\in M}A_i) \).

*La inyectividad de f asegura la existencia de la única preimagen de b en \( \bigcap_{i\in M}A_i \).

Estaba escribiendo el mensaje y cuando quise obtener la previsualización, apareció un error y me borró todo, me sentí tan enojado que por poco me voy a dormir sin transcribirlos de nuevo pero ahí están. Tendré ahora que copiar el texto en un archivo cada vez que le de previsualizar o lo vaya a publicar. Gracias por revisarlo. Saludos.
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31 Julio, 2011, 08:53 am
Respuesta #11

argentinator

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En cuanto a los problemas con los mensajes que se borran...

A mí me pasa bastante seguido, según desde qué computadora esté navegando, u otras razones.

Así que está bien eso de usar un editor de texto.

Otra solución que yo uso mucho es esta: antes de apretar el botón "Publicar", selecciono todo el texto y lo copio en el "potapapeles" de Windows.
Así no tengo que estar haciendo un archivo de texto cada vez.
Y si hay algún problema con el mensaje, entonces lo reedito simplemente "pegando" el mensaje guardado en memoria.

Yo creería que estos problemas son más comunes a medida que uno escribe mensajes cada vez más largos.


Veamos que se tiene la igualdad si f es inyectiva.
Sea \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \), luego \( b\in f(A_i) \quad (\forall{i\in M}) \) y por definición de este conjunto \( b=f(a) \) para algún (al ser f inyectiva en este caso es único*) \( a\in A_i \;(\forall{i\in M})\implies a\in \bigcap_{i\in M}A_i \) y de lo que se concluye que \( b\in f(\bigcap_{i\in M}A_i) \).

*La inyectividad de f asegura la existencia de la única preimagen de b en \( \bigcap_{i\in M}A_i \).


En general tus razonamientos están perfectos, y tu forma de escribir me parece muy bien.

Al menos, yo escribiría casi igual que lo que vos hiciste. (Eso no es garantía de nada, o sea, yo no soy "san" teoría de conjuntos).
Me hace pensar si de verdad te hace falta este curso.

Pero ví que te enredaste un poco al justificar esta última parte.
A ver si te gusta cómo solucionaría yo a la escritura de la parte "inyectiva":


Sea \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \),
luego, para cada \( i\in M \) existiría algún \( w\in A_i \) tal que: \( b= f(w) \quad  \) .

Sea \( E = \{w |\exists i\in I:(w\in A_i, b=f(w))\} \)

Dados \( w,w'\in E \), se tiene que \( b=f(w)=f(w') \),
y vale por inyectividad de \( f \) que \( w=w' \).

Esto implica que en \( E \) hay un solo elemento, que llamamos \( a \).

Luego hay un único valor \( a\in \cap_i A_i  \) tal que \( f(a) =b \).

[Para comprobar esto, se podría volver sobre los pasos, y comprobar que efectivamente,
el conjunto \( K \) de índices \( i\in M  \) tal que \( a\in A_i \) es igual a todo \( M \), o sea:

Sea \( i\in M \). Sabemos que existe \( w\in A_i \) tal que \( f(w) = b \), por lo cual \( w \in E \).
Pero entonces \( w = a \). Esto da \( a\in E \).

Se concluye que \( i\in K \).

Esto implicará que \( M = K. \)
]

Por lo tanto \( b=f(a)\in f(\cap_{i\in M} A_i)  \).




Una vez que el razonamiento se ha hecho bastante preciso, como acá,
resulta en un texto demasiado "pedante", porque muchos matemáticos considerarán "molesto" tener que leer todos esos detalles.

Pero sin embargo, hay que estar convencido de esos "cálculos", que por eso los escribo.

Una vez que uno se convenció de los cálculos, puede borrarlos, y reescribirlos de una forma más breve.
Es recién en ese instante que uno puede escribir algo breve como vos hiciste:

Citar
*La inyectividad de f asegura la existencia de la única preimagen de b en \( \bigcap_{i\in M}A_i \).

31 Julio, 2011, 09:49 pm
Respuesta #12

Máthêma

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En general tus razonamientos están perfectos, y tu forma de escribir me parece muy bien.

Al menos, yo escribiría casi igual que lo que vos hiciste. (Eso no es garantía de nada, o sea, yo no soy "san" teoría de conjuntos).
Me hace pensar si de verdad te hace falta este curso.

No te dejes llevar por la sensación que te he dejado hasta ahora. Lo que pasa es que con los temas tratados hasta ahora, he tenido en algún momento contacto, y por eso se me facilita un poco pero, hay temas del curso (como conjuntos numerables, cardinalidad, axioma de elección, principio del máximo) para los cuales sólo tengo nociones y conozco algunas definiciones a pesar de no haberme embarcado a hacer ejercicios.

Pero ví que te enredaste un poco al justificar esta última parte.
A ver si te gusta cómo solucionaría yo a la escritura de la parte "inyectiva":


Sea \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \),
luego, para cada \( i\in M \) existiría algún \( w\in A_i \) tal que: \( b= f(w) \quad  \) .

Sea \( E = \{w |\exists i\in I:(w\in A_i, b=f(w))\} \)

Dados \( w,w'\in E \), se tiene que \( b=f(w)=f(w') \),
y vale por inyectividad de \( f \) que \( w=w' \).

Esto implica que en \( E \) hay un solo elemento, que llamamos \( a \).

Luego hay un único valor \( a\in \cap_i A_i  \) tal que \( f(a) =b \).

¿Qué si me gusta? Ya deseo yo expresarme así. Uno de mis objetivos al inscribirme en este curso fue precisamente mejorar la forma en que expreso mis razonamientos. Así que si no es mucha molestia, me gustaría que en futuros ejercicios me pidas que aclare algún paso o lo reescriba de otra manera si es necesario, antes que lo hagas tú,  como lo era en este de la inyectividad. Creo que así, aprenderé mucho más.

Gracias, saludos.
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14 Agosto, 2011, 12:24 am
Respuesta #13

javier m

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hola argentinator.

tengo una situación: no he podido avanzar mucho con el curso, de hecho apenas estoy cerca de llegar a los ejercicos de demostrar el algebra de conjuntos.
no he podido avanzar mucho porque tengo que estudiar otras cosas referente a mi carrera, pero resulta que dentro de poco entro a vacaciones y quisiera aprovechar para adelantarme un poco, el problema es que cuando entre a vacaciones no voy a tener internet.

asi que la pregunta es: ¿tienes el curso en un archivo adjunto para poder descargarlo?

14 Agosto, 2011, 03:15 am
Respuesta #14

argentinator

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No tengo ningún archivo adjunto, porque lo que voy escribiendo en el foro me sale por "inspiración del momento", jeje.

Lo que sí podés asegurar posiblemente es imprimir los posts.

Fijate que los spoilers a lo mejor no se imprimen, y habría que "abrirlos" a todos antes de imprimir.

O bien, podés "imprimirlo" a un archivo.
O simplemente ponés "guardar como" y te graba la página web en tu disco rígido.

Finalmente, podrías buscarte el libro de Munkres por ahí, porque la teoría y ejercicios se basan en el capítulo 1 de dicho libro.

Saludos

14 Agosto, 2011, 03:33 am
Respuesta #15

argentinator

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23 Agosto, 2011, 09:48 pm
Respuesta #16

javier m

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hola argentinator, tengo una duda muy tontilla.

en la parte de intercepción

Citar
Ejercicio Anexo.1.1.d. Demostrar que dos conjuntos \( A, B \) son disjuntos si, y sólo si,\( A\cap  B = \emptyset \) .
(Esto también podría tomarse como definición de disjuntez)

no veo como seria la demostración, es que tan obvio que no veo que demostración pueda tener.
¿no seria mejor decir que eso es la definición (como bien dice en el parentisis) y ya ?

23 Agosto, 2011, 11:57 pm
Respuesta #17

argentinator

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Por lo general en los libros viene eso como definición de disjuntez, así que no habría que demostrar nada.

Lo que pasa es que se me ocurrió definir disjuntez de otra manera, y hay que demostrar que ambas definiciones son equivalentes.

* Definición: A y B son disjuntos si todo elemento de A no está en B, y todo elemento de B no está en A.

Hay que probar que eso es equivalente a que A y B tienen intersección vacía.

Supongamos que tenemos A y B como en la definición de arriba.
Si hubiese un punto \( x\in A\cap B \), entonces en particular \( x\in A \).
Pero por definición, tenemos ahora que  \( x\not\in B \). Pero como \( x\in A\cap B \), necesariamente \( x\in B \), que nos da una contradicción.
Así que, no existe x tal que \( x\in A\cap B \). Esto nos dice que \( A\cap B \) es el conjunto vacío.

Recíprocamente, si \( A\cap B=\emptyset  \), y si \( x \) es un elemento de \( A \), entonces no puede ser que \( x\in B \), porque nos daría entonces que \( x\in A\cap B=\emptyset  \), absurdo.
De la misma manera, si x es elemento de B, no puede ser elemento de A.
Esto demuestra que se cumple la condición dada en *.

Así, ambas cosas son equivalentes...

Sí, es una pavada, y son tan parecidas ambas condiciones que se vuelve intrincado hallar una demostración de que son lo mismo, y no caer en el ridículo de la obviedad.

Pero si hay dos definiciones distintas, es que son distintas, y tiene que haber un modo de probar que son equivalentes.

Arriba en realidad usé una noción de conjunto vacío (que no existe x que le pertenezca), que habría que probar que es equivalente a cualquier otra definición usual de vacio.

25 Agosto, 2011, 04:02 pm
Respuesta #18

argentinator

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* 1er definición de vacío: \( X=\{x:x\neq x\} \)

* 2da definición de vacío: un conjunto V se dice "vacío" si \( \not\exists x:x\in V \).

Habría que probar que todo conjunto "vacío" es igual a X, y eso probaría además que hay solamente un conjunto vacío posible.

Sea V vacío "cualquiera", y sea \( x\in V \).
Analicemos la implicación \( x\in V\implies x\in X \).
Como el antecedente de la implicación \( x\in V \) es falso, la implicación es "verdadera".
Esto no quiere decir que efectivamente \( x\in X \).

Este tipo de razonamientos son correctos, y como x es genérico, se ha demostrado que \( V\subset X \).

Una forma un poco más "creíble" de hacer esto, sería partir de la negación del consecuente.
Supongamos que \( x\not \in X \). En tal caso \( x=x \).
Si fuese \( x\in V \), entonces existiría un \( x \) tal que \( x\in V \), y V no sería "vacio", por la 2da definición.

Así que \( x\not \in V \).

Por contrarrecíproco, se tiene la implicación \( x\in V\implies x\in X \).
O sea \( V\subset X \).

------------------------------------------

Por otro lado, se sabe que \( X\subset A \) para todo conjunto \( A \).
En particular, \( X\subset V \).

Ahora, de la doble inclusión, resulta que \( V=X \).

------------------------------

Estos ejercicios con el vacío son bastante "ilustrativos", por decirlo así.

25 Agosto, 2011, 06:01 pm
Respuesta #19

javier m

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