En cuanto a los problemas con los mensajes que se borran...
A mí me pasa bastante seguido, según desde qué computadora esté navegando, u otras razones.
Así que está bien eso de usar un editor de texto.
Otra solución que yo uso mucho es esta: antes de apretar el botón "Publicar", selecciono todo el texto y lo copio en el "potapapeles" de Windows.
Así no tengo que estar haciendo un archivo de texto cada vez.
Y si hay algún problema con el mensaje, entonces lo reedito simplemente "pegando" el mensaje guardado en memoria.
Yo creería que estos problemas son más comunes a medida que uno escribe mensajes cada vez más largos.
Veamos que se tiene la igualdad si f es inyectiva.
Sea \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \), luego \( b\in f(A_i) \quad (\forall{i\in M}) \) y por definición de este conjunto \( b=f(a) \) para algún (al ser f inyectiva en este caso es único*) \( a\in A_i \;(\forall{i\in M})\implies a\in \bigcap_{i\in M}A_i \) y de lo que se concluye que \( b\in f(\bigcap_{i\in M}A_i) \).
*La inyectividad de f asegura la existencia de la única preimagen de b en \( \bigcap_{i\in M}A_i \).
En general tus razonamientos están perfectos, y tu forma de escribir me parece muy bien.
Al menos, yo escribiría casi igual que lo que vos hiciste. (Eso no es garantía de nada, o sea, yo no soy "san" teoría de conjuntos).
Me hace pensar si de verdad te hace falta este curso.
Pero ví que te enredaste un poco al justificar esta última parte.
A ver si te gusta cómo solucionaría yo a la escritura de la parte "inyectiva":
Sea \( b\in \bigcap_{i\in M}f(A_i) \),
luego, para cada \( i\in M \) existiría algún \( w\in A_i \) tal que: \( b= f(w) \quad \) .
Sea \( E = \{w |\exists i\in I:(w\in A_i, b=f(w))\} \)
Dados \( w,w'\in E \), se tiene que \( b=f(w)=f(w') \),
y vale por inyectividad de \( f \) que \( w=w' \).
Esto implica que en \( E \) hay un solo elemento, que llamamos \( a \).
Luego hay un único valor \( a\in \cap_i A_i \) tal que \( f(a) =b \).
[Para comprobar esto, se podría volver sobre los pasos, y comprobar que efectivamente,
el conjunto \( K \) de índices \( i\in M \) tal que \( a\in A_i \) es igual a todo \( M \), o sea:
Sea \( i\in M \). Sabemos que existe \( w\in A_i \) tal que \( f(w) = b \), por lo cual \( w \in E \).
Pero entonces \( w = a \). Esto da \( a\in E \).
Se concluye que \( i\in K \).
Esto implicará que \( M = K. \)
]
Por lo tanto \( b=f(a)\in f(\cap_{i\in M} A_i) \).
Una vez que el razonamiento se ha hecho bastante preciso, como acá,
resulta en un texto demasiado "pedante", porque muchos matemáticos considerarán "molesto" tener que leer todos esos detalles.
Pero sin embargo, hay que estar convencido de esos "cálculos", que por eso los escribo.
Una vez que uno se convenció de los cálculos, puede borrarlos, y reescribirlos de una forma más breve.
Es recién en ese instante que uno puede escribir algo breve como vos hiciste:
*La inyectividad de f asegura la existencia de la única preimagen de b en \( \bigcap_{i\in M}A_i \).
