Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación del Curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013

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30 Octubre, 2011, 06:43 am
Respuesta #40

Fran Colegiales

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Argentinator:

Bueno, ahora entendí mejor lo que me querías decir. No te parecía que había un error sintáctico en la fórmula con la negación, si no que te parece ilegítimo el modo en que paso de unas fórmulas a otras. Acá pongo las tablas de verdad para las fórmulas que usé, para que se vea que todas son lógicamente equivalentes. Tal vez debería haberlo hecho así desde un principio, (ya que no estaba justificando cada paso con una regla de inferencia) pero no quería hacerlo muy largo de leer para vos. Y ahora que lo pienso me doy cuenta de que es al contrario, mientras más explicitado esté, más fácil te va a resultar a vos corregirlo.


A      B     ¬A    ¬B    A\( \Rightarrow{} \)¬B   B\( \Rightarrow{} \)¬A   (A\( \Rightarrow{} \)¬B)^(B\( \Rightarrow{} \)¬A)   A^B   ¬(A^B)


F      F      V      V        V         V                 V               F           V
F      V      V      F        V         V                 V               F           V
V      F      F      V        V         V                 V               F           V
V      V      F      F        F         F                  F              V            F


(Perdón por usar las letras A y B para representar fórmulas, pero poner letras griegas en LaTex me deja algo indescifrable al escribir.)

Hago notar que como el primer conjuntivo de la definición de conjuntos disjuntos es lógicamente equivalente al segundo conjuntivo, en mi demostración lo saqué directamente. Sería como si yo tuviese una fórmula con la forma \( \phi\wedge\phi \), la reemplazaría directamente por \( \phi \).

Otra cosa que no hice en mi ejercicio fue eliminar el cuantificador universal antes de empezar a escribir las equivalencias, pero como es un sólo cuantificador me parecía innecesario eliminarlo para después volver a introducirlo.

Creo que eso es todo.

PD: Ya estoy tratando de resolver los ejercicios del libro de Munkres, en cuanto pueda los envío.

Saludos.









30 Octubre, 2011, 06:35 pm
Respuesta #41

argentinator

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No te preocupes por los detalles lógicos y las tablas de verdad.
Eso no nos concierne en este curso.

En realidad fui yo el que se equivocó.

Revisé de nuevo el razonamiento y pienso que está bien.

Incluso sin ir tan en detalle a las tablas de verdad.

Lo que pasa es que yo no me creía que eran equivalentes las premisas
\( p=  ((x\in{A}\Rightarrow x\not\in{B}) \)   y   \( q=(x\in{B}\Rightarrow x\not\in{A})  \)

Sin embargo, lo son, y eso arregla todo el asunto.

Así que te pido disculpas por este malentendido.

____________

Me escandalicé porque ví que hiciste un razonamiento del tipo: \( (p \wedge q)\Leftrightarrow{(p)} \).
¡¡¡AAAhhhh!!!

Pero es obvio que p y q son equivalentes, así que está todo correcto.

__________________

Nos vemos.     

12 Noviembre, 2011, 03:38 pm
Respuesta #42

Fran Colegiales

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Hola Argentinator:

Bueno, acá envío los ejercicios de la sección 1 para corrección.

Ejercicios Sección 1:

Ejercicio 1.2:

(a)
\( A\subset B \textsf{\ y\ }A\subset C\Longleftrightarrow{A\subset(B\cup C)} \) No es verdadera.
\( A\subset B \textsf{\ y\ }A\subset C\Longrightarrow{A\subset(B\cup C)} \) Es verdadera.
\( A\subset(B\cup C)\Longrightarrow A\subset B \textsf{\ y\ }A\subset C \)  No es verdadera.
Contraejemplo 1: Sea \( A= \{a\},\ B= \emptyset,\ C= \{a\} \)
Contraejemplo 2: Sea \( A= \{a\},\ B= \{a\},\ C=\emptyset \)

(b)
\( A\subset B \textsf{\ o\ }A\subset C\Longleftrightarrow{A\subset(B\cup C)} \) Es verdadera.

(c)
\( A\subset B \textsf{\ y\ }A\subset C\Longleftrightarrow{A\subset(B\cap C)} \) Es verdadera.

(d)
\( A\subset B \textsf{\ o\ }A\subset C\Longleftrightarrow{A\subset(B\cap C)} \) No es verdadera.
\(  A\subset(B\cap C)\Longrightarrow A\subset B \textsf{\ o\ }A\subset C  \) Es verdadera.
\( A\subset B \textsf{\ o\ }A\subset C\Longrightarrow{A\subset(B\cap C)} \) No es verdadera.
Contraejemplo 1: Sea \( A= \{a\},\ B= \emptyset,\ C= \{a\} \)
Contraejemplo 2: Sea \( A= \{a\},\ B= \{a\},\ C=\emptyset \)

(e)
Para dos conjuntos A y B cualesquiera, no se cumple que:  \( A-(A-B)=B \)
Contraejemplo: Considero un elemento \( a \) con las siguientes propiedades: \( a\not\in{A},\ a\in{B}. \) Luego: \( a\not\in (A-B) \) Y por último: \( a\not\in (A-(A-B)) \)
Para dos conjuntos A y B cualesquiera, sí se cumple que: \(  A-(A-B)\subset{}B \)

(f)
Para dos conjuntos A y B cualesquiera, no se cumple que: \( A-(B-A)=A-B \)
Contraejemplo: Considero un elemento \( a \) con las siguientes propiedades: \( a\in{A},\ a\in{B}. \) Luego: \( a\not\in (B-A) \) Luego: \( a\in (A-(B-A)) \) Y por último:  \( a\not\in (A-B) \)
Para dos conjuntos A y B cualesquiera, sí se cumple que: \(  (A-B)\subset (A-(B-A)) \)

(g)
Para dos conjuntos A y B cualesquiera, sí se cumple que: \( A\cap(B-C)=(A\cap B)-(A \cap C) \)

(h)
Para dos conjuntos A y B cualesquiera, no se cumple que: \( A\cup(B-C)=(A\cup B)-(A \cup C) \)
Contraejemplo 1:  Considero un elemento \( a \) con la propiedad: \( a\in{A} \). Luego: \( a\in{A\cup(B-C)}  \) Pero como \(  a\in{A\cup B}\wedge a\in{A\cup B}  \), entonces:  \( a\notin{(A\cup B)-(A \cup C)} \)
Para dos conjuntos A y B cualesquiera, sí se cumple que: \( (A\cup B)-(A \cup C)\subset (A\cup(B-C)) \)

(i)
Para dos conjuntos A y B cualesquiera, sí se cumple que : \( (A\cap B)\cup(A- B)=A \)

(j)
\( A\subset C\textsf{\ y\ }B\subset D\Longrightarrow{(A\times B)\subset(C\times D)} \) Es verdadera.

(k)
\( (A\times B)\subset(C\times D)\Longrightarrow A\subset C\textsf{\ y\ }B\subset D  \) No es verdadera.
Contraejemplo 1: Si \( A=\emptyset  \) y \( B\not\subset{D} \)
Contraejemplo 2: Si \( B=\emptyset  \) y \( A\not\subset{C} \)

(l)
\( (A\times B)\subset(C\times D)\Longrightarrow A\subset C\textsf{\ y\ }B\subset D  \)
Siendo \(  A\neq{\emptyset} \textsf { y} \ B\neq{\emptyset} \)
Es verdadera para 4 conjuntos A, B, C y D cualesquiera.

(m)
Para 4 conjuntos A, B, C y D, cualesquiera, no se cumple que:
\( (A\times B)\cup(C\times D)=(A\cup C)\times(B\cup D) \)
Contraejemplo 1: \(  Si \ A=D=\emptyset \textsf{ y } B\neq{\emptyset} \textsf{ y } C\neq{\emptyset} \)
Para 4 conjuntos A, B, C y D, cualesquiera, no se cumple que:
\( (A\cup C)\times(B\cup D)\subset{}(A\times B)\cup(C\times D) \). Sirve el contraejemplo 1 para demostrarlo.
Para 4 conjuntos A, B, C y D, cualesquiera, sí se cumple que:
\( (A\times B)\cup(C\times D)\subset{}(A\cup C)\times(B\cup D) \)

(n)
Para 4 conjuntos A, B, C y D, cualesquiera, sí se cumple que:
\( (A\times B)\cap(C\times D)=(A\cap C)\times(B\cap D) \)

(o)
Para 4 conjuntos A, B, C y D, cualesquiera, sí se cumple que:
\( A\times(B-C)=(A\times B)-(A\times C) \)

(p)
Para 4 conjuntos A, B, C y D, cualesquiera, sí se cumple que:
\( (A-B)\times(C-D)=(A\times C-B\times C)-A\times D \)

(q)
Para 4 conjuntos A, B, C y D, cualesquiera, no se cumple que:
\( (A\times B)-(C\times D)=(A-C)\times (B-D) \)
Contraejemplo 1:  Considero un par ordenado \( (a, b) \) con las propiedades: \( a\in{A},\ a\in{C},\ b\in{B},\ b\notin{D} \). Luego: \( (a, b)\in{(A\times B)-(C\times D)} \) Y: \( (a, b)\notin (A-C)\times (B-D) \)
Contraejemplo 2:  Considero un par ordenado \( (a, b) \) con las propiedades: \( a\in{A},\ a\notin{C},\ b\in{B},\ b\in{D} \). Luego: \( (a, b)\in{(A\times B)-(C\times D)} \) Y: \( (a, b)\notin (A-C)\times (B-D) \)

Para 4 conjuntos A, B, C y D, cualesquiera, no se cumple que:
\( (A\times B)-(C\times D)\subset (A-C)\times (B-D) \)
Para demostrar esto sirven los contraejemplos 1 y 2.

Para 4 conjuntos A, B, C y D, cualesquiera, sí se cumple que:
\( (A-C)\times (B-D)\subset (A\times B)-(C\times D) \)


Ejercicio 1.3:

(a)
"Si \( x<0 \) entonces  \( x^2-x>0 \)" Es verdadero.
Recíproco: "Si  \( x^2-x>0 \) entonces \( x<0 \)" Es falso.
Contrapositivo: "Si  \( x^2-x\leq{}0 \) entonces \( x\geq{}0 \)" Es verdadero.

(b)
"Si \( x>0 \), entonces \( x^2-x>0 \)" Es falsa.
Recíproco: "Si \( x^2-x>0 \), entonces \( x>0 \)" Es falsa.
Contrapositivo: "Si \( x^2-x\leq{}0 \), entonces \( x\leq{}0 \)" Es falsa.

Ejercicio 1.4:

(a) Para al menos un \( a\in A \) es cierto que \( a^2\notin B \)
(b) Para todo \( a\in A \) es cierto que \( a^2\notin B \)
(c) Para al menos un \( a\in A \) , es cierto que \( a^2\in B \)
(d) Para todo \( a\notin A \), es cierto que \( a^2\notin B \)

Ejercicio 1.5:
(a) Es verdadera. Su recíproco también es verdadero.
(b) Es falsa. Su recíproco es verdadero.
(c) Es verdadera. Su recíproco es falso.
(d) Es verdadera. Su recíproco también es verdadero.

Ejercicio 1.6:
(a)
\( {x\notin A} \) para todo \( A\in \mathcal A \rightarrow \displaystyle x\notin\bigcup_{A\in\mathcal A} A  \)

(b)
\( {x\notin A} \) para al menos un \( A\in \mathcal A \rightarrow \displaystyle x\notin\bigcup_{A\in\mathcal A} A  \)

(c)
\( {x\notin A} \) para todo \( A\in \mathcal A \rightarrow \displaystyle x\notin\bigcap_{A\in\mathcal A} A  \)

(d)
\( {x\notin A} \) para al menos un \( A\in \mathcal A \rightarrow \displaystyle x\notin\bigcap_{A\in\mathcal A} A  \)

Ejercicio 1.7:

\( D=A\cap{(B\cup{C})} \)
\( E=(A \cap B)\cup C \)
\( F=A-(B-C) \)

Ejercicio 1.8:

Si el conjunto A tiene dos elementos:
\( A=\{a, b\} \)
Entonces:
\( \mathcal P(A)=\{\emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a, b\}\}  \)

Si A tiene un único elemento, \( \mathcal P(A) \) tiene dos elementos.

Si A tiene 3 elementos, \( \mathcal P(A) \) tiene 8 elementos.

Si \( A=\emptyset \), entonces \( \mathcal P(A)=\{\emptyset\}  \) y tiene 1 elemento.

\( \mathcal P(A) \) se denomina conjunto potencia de A porque si A tiene n elementos, \( \mathcal P(A) \) tiene \( 2^n  \) elementos.

Ejercicio 1.9:

Primera ley de DeMorgan:

\( \mathcal X \neq{\emptyset}\Rightarrow A-\displaystyle \bigcup_{X\in\mathcal X} X = \displaystyle \bigcap_{X\in\mathcal X} A - X \)

Definiciones:

\( \displaystyle \bigcup_{X\in\mathcal X} X = \{ \ y \ | \exists{X} \ (X \in \mathcal X \wedge y \in{X})) \)

\( \displaystyle \bigcap_{X\in\mathcal X}X=\{ \ y \ | \forall X (X\in\mathcal X) \Rightarrow y\in X\} \)


Usando las definiciones tenemos que:

\( \displaystyle \bigcap_{X\in\mathcal X}A-X=\{ \ y \ | \forall X ((X\in\mathcal X) \Rightarrow (y\in A\ \wedge y\not\in{X}))\} \)

\( A - \displaystyle \bigcup_{X\in\mathcal X} X = \{ \ y \ | y \in{A} \wedge \not\exists{X} \ (X \in \mathcal X \wedge y \in{X})) \)

Esta última se puede reescribir así:
\( A - \displaystyle \bigcup_{X\in\mathcal X} X = \{ \ y \ | y \in{A} \wedge \forall{X} \ (X \in \mathcal X \Rightarrow{} y \not\in X)) \)

Reemplazando las definiciones, resulta que quiero demostrar que:

\( \mathcal X \neq{\emptyset}\Rightarrow \{ \ y \ | \forall X ((X\in\mathcal X) \Rightarrow (y\in A\ \wedge y\not\in{X}))\} =  \{ \ y \ | y \in{A} \wedge \forall{X} \ (X \in \mathcal X \Rightarrow{} y \not\in X)) \)

Demostración:

Supongamos que \( y\in{\displaystyle \bigcap_{X\in\mathcal X}A-X} \). Esto sucede si y solo si se dan las dos condiciones siguientes: 1) \( y \in{A} \) 2) \( y \) no pertenece ninguno de los conjuntos que pertenecen a \( \mathcal X \).

( Si no hubieramos puesto la condición de que \( \mathcal X \neq \emptyset  \), y fuera el caso que \( \mathcal X = \emptyset  \), en forma trivial cualquier elemento pertenecería a \( \displaystyle \bigcap_{X\in\mathcal X}A-X \), pero no cualquier elemento pertenecería a \( A - \displaystyle \bigcup_{X\in\mathcal X} X \), si no sólo aquellos que pertenezcan a A. De esto resultaría que ambos serían conjuntos distintos.)

Estas condiciones harían que \( y \) pertenezca a \( A - \displaystyle \bigcup_{X\in\mathcal X} X \).

Ahora supongamos que \( y \in A - \displaystyle \bigcup_{X\in\mathcal X} X \). Deberían darse las mismas condiciones: 1) \( y \in{A} \) 2) \( y \) no pertenece ninguno de los conjuntos que pertenecen a \( \mathcal X \). Y si esto sucediera, \( y \) pertenecería a \( \displaystyle \bigcap_{X\in\mathcal X}A-X \)


Segunda ley de DeMorgan:

\( A-\displaystyle \bigcap_{X\in\mathcal X} X = \displaystyle \bigcup_{X\in\mathcal X} A - X \)

Definiciones:

\( \displaystyle \bigcup_{X\in\mathcal X} X = \{ \ y \ | \exists{X} \ (X \in \mathcal X \wedge y \in{X})) \)

\( \displaystyle \bigcap_{X\in\mathcal X}X=\{ \ y \ | \forall X (X\in\mathcal X) \Rightarrow y\in X\} \)

Usando las definiciones tenemos que:

\( A-\displaystyle \bigcap_{X\in\mathcal X} X =  \{ \ y \ | y \in{A} \wedge \not\forall{X} \ (X \in \mathcal X \Rightarrow{} y \in X)) \)

Que puede reescribirse como:

\( A-\displaystyle \bigcap_{X\in\mathcal X} X =  \{ \ y \ | y \in{A} \wedge \exists{X} \ (X \in \mathcal X \wedge y \not\in X)) \)

Ahora definimos la unión:

\( \displaystyle \bigcup_{X\in\mathcal X} A - X = \{ \ y \ | \exists{X} \ (X \in \mathcal X \wedge y \in{A - X})\} \)

\( \displaystyle \bigcup_{X\in\mathcal X} A - X = \{ \ y \ | \exists{X} \ (X \in \mathcal X \wedge y \in A \wedge y \not\in X)\} \)

Reemplazando las definiciones, resulta que quiero demostrar que:

\(  \{ \ y \ | y \in{A} \wedge \exists{X} \ (X \in \mathcal X \wedge y \not\in X))\} = \{ \ y \ | \exists{X} \ (X \in \mathcal X \wedge y \in A \wedge y \not\in X)\} \)

Ambas fórmulas son lógicamente equivalentes:
En: \( \{ \ y \ | y \in{A} \wedge \exists{X} \ (X \in \mathcal X \wedge y \not\in X))\} \) se podría poner el cuantificador adelante de \( y \in{A} \) ya que como no tiene ninguna variable que el cuantificador ligue, no es afectada por el cambio. Luego ambas fórmulas serían la misma.

(Curiosamente no pasa lo mismo que con la demostración de la primera ley, donde se hacía necesario poner la restricción de que \( \mathcal X \neq{\emptyset} \))

Ejercicio 1.10:

(a)
\( \{(x,y)| x\textsf{\ es un entero}\}=\{(x,y)| x\in{\mathbb{Z}}} \wedge y\in{\mathbb{R}}\}=\mathbb{Z}\times{}\mathbb{R} \)
\( \mathbb{Z}\subset{R} \wedge \mathbb{R}\subset{\mathbb{R}} \)

(b)
Definimos el conjunto L:  \( L= \{x \ | \ 0&lt;x \leq1\} \)
\( \{(x,y)|0&lt;y \leq1\} = \{(x,y)| x\in{\mathbb{R}} \wedge y\in{L}\} = \mathbb{R}\times{L} \)
\( L\subset{R} \wedge \mathbb{R}\subset{\mathbb{R}} \)

(c)
\( A=\{(x,y)|y>x\} \) A no puede ser expresado como el producto cartesiano de dos subconjuntos de \( \mathbb{R} \)
Demostración informal:
\( (0, 1)\in{A} \wedge (1, 2) \in{A} \)
Si A pudiera ser expresado como el producto cartesiano de dos subconjuntos de \( \mathbb{R} \), llamémoslos C y D, entonces \( 0 \in{C},\ 1\in{C},\ 1\in{D}\ y \ 2 \in{D} \) Pero \( C\times{D} \) también tendría como elemento al par (1, 1), que no es un elemento de A.

(d)
\( \{(x,y)|x\textsf{ no es un entero y\ } y\textsf{\ es un entero}\} = \{(x,y)|x \in{\mathbb{R}}-\mathbb{Z} \ \wedge \ y \in \mathbb Z \} = (\mathbb{R}}-\mathbb{Z}) \times{} \mathbb Z \)
\( \mathbb{R}}-\mathbb{Z}\subset{\mathbb{R}} \wedge \mathbb{Z}\subset{\mathbb{R}} \)

(e)
\( A=\{(x,y)|x^2+y^2=1\} \)
A no puede ser expresado como el producto cartesiano de dos subconjuntos de \( \mathbb{R} \)
Demostración informal:
\( (0, \displaystyle\frac{3}{4}) \in{A} \ y \ (\displaystyle\frac{3}{4}, 0) \in{A} \)
Si A pudiera ser expresado como el producto cartesiano de dos subconjuntos de \( \mathbb{R} \), llamémoslos C y D, entonces \( 0 \in{C},\ \displaystyle\frac{3}{4}\in{C},\ 0\in{D}\ y \ \displaystyle\frac{3}{4}\in{D} \) Pero \( C\times{D} \) también tendría como elemento al par \( (\displaystyle\frac{3}{4}, \displaystyle\frac{3}{4}) \), que no es un elemento de A.


(Bueno, creo que la próxima vez voy a ir mandando en la medida en que los haga y no todos juntos. No me asesinés.)

Saludos. Gracias por todo.

12 Noviembre, 2011, 05:13 pm
Respuesta #43

argentinator

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Ejercicio 1.2: Está muy bien.

Los contraejemplos los pusiste en forma "general".
En realidad, lo correcto es exhibir explícitamente contraejemplos para cada cosa,
porque lo vos escribiste es algo así como "reducir una conjetura" a otra "conjetura más fácil de probar".
O sea, has dado estrategias para buscar contraejemplos.

Siendo concientes de esto, entonces todo el trabajo está muy bien.

En cuanto a las afirmaciones verdaderas, obviamente hace falta la demostración.
Aunque asumo que sabés hacerlas, estaría bueno poner al menos alguna como ejemplo.
En realidad, lo exijo porque el curso que tomaste es exclusivo de teoría de conjuntos.

Sin embargo, es quizás más importante que tengas bien anotado cuál es verdadera y cuál no, tal como hicistes, porque esto es lo que te será útil mas adelante.

Y lo mejor de todo es que, en los casos "falsos", anotaste con cuidado qué lado de la implicación o la igualdad era todavía "verdadero".
Esto también te será muy útil, quizá de por vida.

______________

Ejercicio 1.3. OK.

Ejercicio 1.4. OK.

Ejercicio 1.5. Está bien, aunque no estaría de más un contraejemplo para los casos (b) y (d).

Yo diría que (a) y (c) son casi la definición de unión e intersección. En esos casos, o bien uno omite la demosración, o se pone quisquilloso y muestra las equivalencias triviales entre varias definiciones distintas pero totalmente equivalentes.

Por eso no te voy a exigir más en esto. (¿Quién soy yo para exigir algo, después de todo?).

Ejercicio 1.6. OK.

______________

Ejercicio 1.7.  Creo que está mal.

\( x\in B\Rightarrow{x\in C} \) es lo mismo que decir \( x\not\in B \) ó \( x\in C \). Aplicando ley distributiva (de las operaciones lógicas), se obtiene que
 \( x\in A,x\not\in B \) ó \( x\in A, x\in C \).
Por lo tanto:
\( x\in (A-B)\cup (A\cap C) \).

_______________




12 Noviembre, 2011, 05:15 pm
Respuesta #44

argentinator

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Ejercicio 1.8. Es correcto. Pero, ¿cómo harías una demostración por inducción en n, de que el número de elementos de P(A) es \( 2^n \) cuando A tiene n elementos?

13 Noviembre, 2011, 07:34 am
Respuesta #45

Fran Colegiales

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Hola Argentinator :)

Bueno, respecto al ejercicio 1.2 tenés razón, para la mayor parte de los ejercicios no puse contraejemplos concretos, si no generales y la verdad es que no me había dado cuenta de eso.

Respecto al ejercicio 1.7:
Lo revisé y pienso que está bien. No quiero volver a copiar una tabla de verdad, pero voy a defender lo que hice: Es verdad que la fórmula \( x\in B\Rightarrow{x\in C} \) es lógicamente equivalente a \( x\not\in B \vee x\in C \), pero ambas son lógicamente equivalentes a ¬(\( x \in B \wedge x\not\in C \)) (Estas fórmulas sólo serían falsas si se diera el caso de que \( x\in B \wedge x\not\in C \) y verdaderas en todos los demás casos.) Con lo que la definición de F dada por Munkres (\( F=\{x|x\in A\textsf{\ y\ }(x\in B \Rightarrow{}x\in C)\} \)), podría reescribirse así: \( F=\{x|x\in A \wedge  \)¬(\( x \in B \wedge x\not\in C)\} \)
La definición de resta de conjuntos dice que \( Z-W= \{ \ x \ | x \in{Z} \wedge x \not\in{W}\} \)
Luego puedo reemplazar en la fórmula ante-anterior: \( F=\{x|x\in A \wedge  \)¬(\( x \in (B-C)\} \) que es lógicamente equivalente a \(  F=\{x|x\in A \wedge x \not\in (B-C)\} \)
Si volvemos a aplicar la definición de resta nos queda: \(  F=\{x|x\in (A-(B-C))\} \)

No me puse a demostrarlo, pero creo que \( (A-B)\cup (A\cap C)= A-(B-C) \) para cualesquiera 3 conjuntos A, B, C. (Mañana intento)

Respecto al ejercicio 1.8:
Ni siquiera sé qué es una demostración por inducción. Sé más o menos lo que es una definición por inducción. Podrías hacer la demostración vos?

Gracias. Me voy a dormir contento.


13 Noviembre, 2011, 03:19 pm
Respuesta #46

argentinator

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Respecto al ejercicio 1.7:
Lo revisé y pienso que está bien. No quiero volver a copiar una tabla de verdad, pero voy a defender lo que hice: Es verdad que la fórmula \( x\in B\Rightarrow{x\in C} \) es lógicamente equivalente a \( x\not\in B \vee x\in C \), pero ambas son lógicamente equivalentes a ¬(\( x \in B \wedge x\not\in C \)) 


Voy a revisar el razonamiento más detalladamente, a ver qué pasa.

Sea \( p=(x\not \in B) \), \( q=(x\in C) \), \( r=p\vee q \).

Sabemos por doble negación que \( \neg \neg r \) equivale a \( r \).

Pero \( \neg\neg r \) es igual a:
\( \neg \neg (p\vee q)\equiv{}\neg (\neg p \wedge \neg q) \).

Reemplazando p, q, por su definición, obtengo tu mismo resultado.

Así que estabas en lo correcto.
Me disculpo de nuevo, parece que estoy viejo para la lógica ya, jeje.



Como sea, no hace falta usar tablas de verdad, porque basta aplicar relaciones lógicas, tales como la doble negación o las leyes de De Morgan, y así por el estilo.

Intentemos trabajar de ese modo, sin tablas de verdad.



También, todas estas cuentitas de lógica, lo ideal sería hacerlas sólo en la medida de lo necesario,
porque lo que se está buscando es, en realidad, trabajar exclusivamente con conjuntos.

Los conjuntos y sus propiedades corren en paralelo con la leyes lógicas, y hay muchos cálculos entre conjuntos que pueden hacerse algebraicamente, una vez que uno ya ha demostrado ciertas fórmulas.




Para el 1.8, por inducción.

La inducción es una propiedad de los números naturales.
Se supone que en la teoría de conjuntos disponemos de un sistema de números naturales.
El libro no lo dice... pero es cierto.
Podemos profundizar más en los detalles de qué se supone y qué no en Teoría de Conjuntos, si no querés que te saque más conejos de la galera.

Ahora, la inducción nos dice que: si una propiedad vale para 0, y supuesta válida para n, vale para el número natural n+1, entonces  la conclusión es que vale para todos los números naturales.

_______________

Así, si uno quiere demostrar que algo es cierto para todos los números naturales, por lo general tendrá que usar inducción para poder dar con la demostración correcta.

Como los números naturales son infinitos, no hay otro modo de demostrar un teorema que abarque a todos los números, hay que tener herramientas adicionales como la inducción.

_____

Ahora consideremos la proposición siguiente:

P(n) := Si un conjunto \( A \) tiene cardinal \( n \), entonces el cardinal de \( \mathcal P(A) \)  es \( 2^n \).

La vamos a probar por inducción.

Sin embargo, me estoy dando cuenta que en la Sección 1 el libro no ha avanzado tanto como para que la prueba que sigue se entienda del todo.
En la Sección 4 y subsiguientes estudia con más detalle la inducción matemática.
También el cardinal y las biyecciones necesarias para entender esto con facilidad son algo que viene en la Sección 2 y otras posteriores.

Así que no te preocupes si no se entiende demasiado.

Creo que el ejercicio invita a "Conjeturar" y no a "demostrar" que el cardinal del conjunto de partes es \( 2^n \).






Esto es trivialmente cierto para \( n=0 \), pues \( \mathcal P(\emptyset )=\{\emptyset \} \), que es un conjunto de un solo elemento.

Supongamos que es válida la afirmación para conjuntos de \( n \) elementos.
Tomemos un conjunto \( A \) de \( n+1 \) elementos.
Seleccionemos un elemento \( u\in A \), y formemos el conjunto \( B=A\setminus \{u\} \).

El conjunto \( B \) tiene \( n \) elementos.
Como hemos supuesto que P(n) es cierta, entonces \( \mathcal P(B) \) tiene cardinal \( 2^n \).

Ahora pensemos en los conjuntos de la forma \( C\cup \{u\} \),
donde \( C\in \mathcal P(B) \).
La colección de todos estos conjuntos forma un "conjunto de conjuntos" que voy a denotar \( \mathcal Q \).

El cardinal de \( \mathcal Q \) es el mismo que el cardinal de \( \mathcal P(B) \),
porque a cada elemento \( C \) de \( \mathcal P(B) \) le podemos hacer corresponder un, y sòlo un, elemento \( C\cup \{u\} \) de \( \mathcal Q \), y a su vez, a cada elemento de éste último le corresponde uno solo del primero...

(Si ese párrafo no está claro, lo podemos probar en más detalle).

Finalmente, todos los conjuntos de \( \mathcal P(A) \) o bien están en \( \mathcal P(B) \) o bien están en \( \mathcal Q \), siendo ambos disjuntos.
Así que el cardinal de \( \mathcal P(A) \) es la suma de los cardinales de cada uno de ellos, que era \( 2^n \), o sea que da \( 2^n+2^n=2\cdot 2^n= 2^{n+1} \).

Como esto le ocurre a cualquier conjunto \( A \) con cardinal \( n \), hemos probado que P(n+1) es cierta.

Por principio de inducción, quiere decir que P(n) es cierta para todo natural n.










15 Noviembre, 2011, 03:47 am
Respuesta #47

argentinator

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Hola.

He revisado tus ejercicios 1.9 y 1.10.

En cuanto al 1.9, está todo muy bien, muy preciso.
Como ya me pasó dos veces que no entendía tus pasos lógicos, puse más atención para cerciorarme de que tanto vos como yo estábamos en lo correcto.

De mi parte, me mareo con las deducciones estrictamente lógicas cuando están puestas "en crudo".
Es más entendible cuando uno pone abreviaturas, del tipo \( p\equiv (x\in A),q\equiv(x\in B) \), y luego trabajar lógicamente sólo con \( p, q \), y así se ve más limpiamente el razonamiento.

Sin embargo, esto no es obligatorio, tan sólo ocurre que me ha costado seguir algunos de tus pasos, y con esas abreviaturas yo pude entender mejor tus pasos lógicos.

________

Comentarios sobre el ejercicio 1.9:

Te has percatado muy bien de las dificultades que ocurren cuando \( x=\emptyset  \).

Has concluido que en ese caso se obtiene "conjuntos distintos".

En realidad, cuando la familia sobre la que se toma intersección es vacía, la intersección total no existe como conjunto.

En una teoría de conjuntos que aceptan "clases propias", la intersección de la familia vacía da la clase universal, que no es un conjunto.

En Teoría de conjuntos, tomar intersecciones sobre la familia \( \emptyset  \) es una operación prohibida, es como dividir por 0.

______

Esto lo aclaro porque no es que en cada ejercicio hay que aclarar lo que pasa con una intersección de conjuntos que pertenecen a una familia \( x=\emptyset  \).
No es que hay que analizar ese caso en forma aparte...
sino que en realidad ese caso se descarta porque está siempre prohibido, no se analiza, pues no tiene sentido.

____________

En cuanto al Ejercicio 1.10, en general está bien,
aunque no entiendo por qué has puesto aclaraciones de ciertas "inclusiones" debajo del resultado de cada inciso.
Son como notas u observaciones que has hecho, pero no sé por qué las has escrito ahí.

_______

También has dicho que para los casos (c) y (d) tu prueba era "informal".
Bueno, no es rigurosamente lógica, pero es que en general las pruebas no se hacen con ese rigor, porque es muy engorroso.

Así que, aceptando que en general las demostraciones en el futuro se permitirán cierto lenguaje informal, se puede decir que tu prueba es correcta, debido a que utiliza el método de Reducción al Absurdo.

Es una prueba correcta, y aunque es "informal", lo cierto es que es "formalizable", o sea, es directamente traducible a una prueba más formal o estrechamente rigurosa.

Todas las pruebas "informales" deben darse de esa manera, pensando en que sea natural "traducirla" a una prueba más rigurosa, si fuera necesario, o si alguien exige más precisión.

__________

El inciso (e) es incorrecto, porque los puntos que has tomado para el razonamiento por absurdo, no están tomados en la circunferencia.

Hay que buscar los susodichos puntos con más cuidado.

Saludos

15 Noviembre, 2011, 06:54 am
Respuesta #48

Fran Colegiales

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Hola Argentinator:

Me alegro de que los ejercicios estén bien.

Estoy tratando de entender la demostración por inducción que escribiste, pero necesito leerla con más detenimiento.

Por otra parte:
Citar
En cuanto al Ejercicio 1.10, en general está bien,
aunque no entiendo por qué has puesto aclaraciones de ciertas "inclusiones" debajo del resultado de cada inciso.
Son como notas u observaciones que has hecho, pero no sé por qué las has escrito ahí.

Puse esas aclaraciones porque la consigna dice:
Citar
Para cada uno de los siguientes subconjuntos de \( [R\times R] \) , determine si es igual al producto cartesiano de algún par subconjuntos \( A,B \) , de \( R \).

Aunque parecía un poco obvio, tenía que escribir que los conjuntos considerados era cada uno de ellos un subconjunto de \( \mathbb{R} \)

Respecto al ejercicio 1.10 (e):
Citar
El inciso (e) es incorrecto, porque los puntos que has tomado para el razonamiento por absurdo, no están tomados en la circunferencia.
Lo que pasó es que en el libro de Munkres (al menos el que yo tengo) el conjunto está definido así: \( \{(x,y)|x^2+y^2<1\} \) Pero yo copié la fórmula de la página de ejercicios (\( \{(x,y)|x^2+y^2=1\} \)) sin leerla y no me dí cuenta de que eran distintas.

En cuanto pueda empiezo a mandar los ejercicios de la sección 2.

Gracias.
Saludos.


16 Noviembre, 2011, 04:43 am
Respuesta #49

Fran Colegiales

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Hola Argentinator:

Acá estoy tratando de resolver los ejercicios de la sección 2 del libro de Munkres. Hice unas demostraciones informales para el ejercicio 1, pero quisiera formalizarlas sobre la base de las definiciones y me encuentro con que las definiciones de Munkres no me ayudan mucho. Hay tres casos:
1)
Definición del conjunto dominio de una regla de asignación r: \( Dominio \ r= \{c \ | \exists{d} \ (d \in D \wedge (c, d) \in r )\} \)
¿Se puede definir esto mismo así: \( Dominio \ r= \{ \ c \ | \exists{d} \ (c, d) \in r )\} \)?
Lo malo con la definición de Munkres es que me obliga a "ir hacia atrás", si la uso, tengo que empezar diciendo qué es D, y también qué es un producto cartesiano. Por otra parte parece innecesario decir que \( (d \in D) \) en la definición de dominio si ya se dijo que la regla de asignación es un subconjunto de \( C\times{D} \) Por la propia definición de regla de asignación no podría suceder que un par ordenado de la regla de asignación tenga como segunda coordenada un elemento que no pertenezca a D.
2)
Definición de conjunto imagen de \( A_0 \) bajo \( f \) .
\( f(A_0):=\{b|\exists a \  b=f(a) \wedge \ a\in A_0\} \)
¿Puedo reescribir esta definición así: \( f(A_0):=\{ y |\exists x \ x\in A_0 \wedge (x,y) \in{r}\} \)?

3)
Definición de conjunto preimagen de \( B_0 \) bajo \( f \) .
¿Puedo reescribir esta definición así: \( f^{-1}(B_0):=\{x |\exists y \ y\in B_0 \wedge (x,y) \in{r}\} \)?

Saludos. Gracias.

27 Noviembre, 2011, 11:09 pm
Respuesta #50

argentinator

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Me disculpo por las demoras en responder sobre este asunto.

1)
Definición del conjunto dominio de una regla de asignación r: \( Dominio \ r= \{c \ | \exists{d} \ (d \in D \wedge (c, d) \in r )\} \)
¿Se puede definir esto mismo así: \( Dominio \ r= \{ \ c \ | \exists{d} \ (c, d) \in r )\} \)?
Lo malo con la definición de Munkres es que me obliga a "ir hacia atrás", si la uso, tengo que empezar diciendo qué es D, y también qué es un producto cartesiano. Por otra parte parece innecesario decir que \( (d \in D) \) en la definición de dominio si ya se dijo que la regla de asignación es un subconjunto de \( C\times{D} \) Por la propia definición de regla de asignación no podría suceder que un par ordenado de la regla de asignación tenga como segunda coordenada un elemento que no pertenezca a D.

En principio, no sé por qué te resulta tan problemático nombrar el conjunto \( D \) que estaba ya nombrado en la regla de asignación.

Pareciera que es posible definir el dominio de \( r \) sin apelar al conjunto \( D \).

Pero acá me parece conveniente reflexionar sobre otras cuestiones que andan dando vueltas.

Uno puede considerar conjuntos distintos \( C',D' \) tales que \( r\subset C'\times D' \), y así la regla de asignación, tanto como su dominio e imagen serían las mismas. Eso no va a cambiar.

Lo que determina la regla de asignación es la colección de pares ordenados que pertenecen a ella.

Es más, se podría especificar una regla de asignación como un conjunto cualquiera de pares ordenados, que cumplan, claro está, la propiedad de unicidad de la imagen.

El único requisito para que todo esto tenga sentido es exigir que este conjunto de pares ordenados sea un conjunto bien definido, o sea, que no sea una clase propia por ejemplo.

El Munkres, como no está discutiendo a fondo los axiomas de la teoría de conjuntos,
lo que hace es dar una condición clara para que se cumpla este requisito que expongo en el párrafo anterior.
Eso se cumple si uno simplemente exige que haya dos conjuntos \( C,D \) tales que \( r\subset C\times D \).

______________

De la manera en que Munkres define las reglas de asignación,
parece claro que no importa cuáles son los conjuntos \( C,D \).
Entonces es correcta tu apreciación, ya que no haría falta poner \( d\in D \), ni siquiera decir quién es.

Acá hay otra sutileza.

Tengamos claro que NO QUEREMOS CLASES PROPIAS.
Vamos a trabajar de manera que todo lo que escribamos sean CONJUNTOS.

Si escribís algo como \( \{c|\exists d:(c,d)\in r\} \),
no se sabe a ciencia cierta si esto te da, en general, un conjunto bien definido
o una clase propia.

Si uno ya sabe que \( r \) está contenido en un conjunto de pares ordenados, entonces el dominio(r) dará un conjunto, y no una clase propia.

Lo mismo con la imagen.

Si uno no especifica un conjunto \( D \), no queda claro que \( r \) pudiera ser una clase propia o no.
Si bien esto no es problema, porque como bien apuntaste, Munkres sí aclara que hay un conjunto \( D \),
la notación de cuantificador \( \exists d:(...) \) en la cual no se dice a cuál conjunto pertenece \( d \), da lugar a sutilezas y discusiones acerca del ámbito de la "variable" \( d \), que si recorre un conjunto o una clase propia.

____________

Me parece a mí que, en general, para trabajar siempre de una forma que no requiera aclaraciones sobre LA CLASE UNIVERSAL, o TOTALIDADES que sean clases propias en vez de conjuntos,
Munkres ha decidido escribir todo el tiempo \( \exists d\in D \) o bien \( \forall d\in D \), etc., o sea,
cuando hay cuantificadores, la variable cuantificado siempre es acompañado de un conjunto al cual pertenece.

Como Munkres mismo se obliga a esto, es que tiene que escribir \( d\in D \) en la expresión que mencionás.

Citar
2)
Definición de conjunto imagen de \( A_0 \) bajo \( f \) .
\( f(A_0):=\{b|\exists a \  b=f(a) \wedge \ a\in A_0\} \)
¿Puedo reescribir esta definición así: \( f(A_0):=\{ y |\exists x \ x\in A_0 \wedge (x,y) \in{r}\} \)?


De hecho, esto último que has puesto es casi lo mismo que escribe Munkres.
El estilo de él es:

\( f(A_0):=\{ y |\exists  x\in A_0 : f(x ) =y\} \) .

Él lo pone con palabras, pero sigue siendo el cuantificador existencial.


Citar
3)
Definición de conjunto preimagen de \( B_0 \) bajo \( f \) .
¿Puedo reescribir esta definición así: \( f^{-1}(B_0):=\{x |\exists y \ y\in B_0 \wedge (x,y) \in{r}\} \)?


Esto último confunde la función con la regla de asignación.
Yo diría que es inadecuado.

______________

En general, hay que entender a cada autor y el espíritu conque escribe el libro, o bien las decisiones de tipo editorial que ha tomado.

Fijate que Munkres parece no querer usar símbolos explícitos de cuantificadores, y en vez de eso usa frases como "al menos uno", "para todo", "para cualesquiera", "existe algún", etc.

También parece querer indicar siempre un conjunto al cual pertenece la variable cuantificada.

____

Finalmente, tras dar rodeos con el concepto de regla de asignación,
fijate que le sirvió para dejar bastante simplificada la notación para dominio e imagen de funciones.

Todo tiene una intención de fondo.

_______

Observemos también que, mientras una regla de asignación en realidad no interesan los conjuntos \( C,D \) en que están inmersos dominio e imagen,
resulta que para una función \( f:A\to B \) sí que importan estos conjuntos.

Para definir una función, se exige que el dominio de la regla de asignación \( A \) coincida con el conjunto de primera coordenada \( C \).
El conjunto \( D \) de la segunda coordenada puede ser cualquier conjunto que contenga a la imagen de la regla de asignación.

La definición dada es tal, que aunque la regla de asignación sea la misma, si cambia el conjunto \( B \), se considera que ha cambiado la función.

______

En rigor, se tiene pues que una función es una par ordenado \( (f,B) \), donde \( B \) es un conjunto, y \( f \) una regla de asignación incluida en \( A\times B \), de tal manera que \( A=dominio(f) \).

El conjunto \( A \) no es necesario especificarlo, porque viene "calculado" a partir de la regla de asignación.
En cambio el \( B \) es arbitrario, y hay que especificarlo.

Esta "libertad" de \( B \) se permite en el Munkres, porque es un libro de topología, y cuando se analizan las propiedades de funciones que van de un conjunto en otro, la estructura del conjunto de "llegada" determina las propiedades de la función...

_______

Por último, hay un problema de terminologia en esta sección del Munkres, que me molesta bastante.

Fijate que le llama rango al conjunto \( B \) de la función, o sea, al "conjunto de llegada" que se había elegido arbitrariamente,
y llama imagen al conjunto de "imágenes" de \( f \).

En los libros de cálculo esta terminología se usa exactamente al revés,
y la situación va variando según los distintos libros de matemática.

¿Cómo resolvemos esta ambigüedad?

Bueno, se me ocurre una salida muy simple:

* Llamemos al conjunto \( B \) conjunto de llegada de la función \( f \) (no le voy a llamar JAMÁS rango, que me parece una herejía).

* Llamemos al conjunto \( f(A) \) conjunto de imágenes de la función \( f \), o bien, la imagen de \( A \) bajo \( f \).
Pero no le llamaré conjunto imagen, porque en general en otros libros se llamaría así al conjunto \( B \).


29 Noviembre, 2011, 06:21 am
Respuesta #51

Fran Colegiales

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Hola Argentinator:
 :)

Mil gracias por tomarte el trabajo de pensar en lo que había propuesto.

Las clases propias es algo que sólo conozco de oídas, no pensé que me iba a topar tan rápido con ellas. Tendré que profundizar un poco en la lectura de los axiomas de ZFC. No quería meterme mucho en esa parte y quería trabajar más en los ejercicios, así que no le dediqué casi nada de tiempo.

Estoy haciendo los ejercicios de la sección 2 de Munkres. No creo que mande todos, si no sólo los que me resulten más difíciles. La verdad que pierdo mucho tiempo transcribiendo y me gustaría avanzar más rápido, pero no puedo. Me gustaría llegar a la parte de topología en realidad, pero bueno, haré lo que pueda...

Saludos. Gracias.


29 Noviembre, 2011, 08:15 am
Respuesta #52

argentinator

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Bueno, lo que pasa es que Munkres evita hábilmente las clases propias, tomando las restricciones necesarias, y sin avisar mucho.

Es más. en ZFC no hay clases propias, lo cual dificulta más entender el asunto.

Hay un par de claves para entender las clases propias, sin profundizar demasiado en ellas:

* Un conjunto es una clase que tiene la propiedad de que pertenece a alguna otra clase. Sin ir más lejos, si X es un conjunto, pertenece al conjunto Y = {X}.

* Una clase propia, por definición, no pertenece a ninguna otra clase.

* Las funciones pueden definirse entre clases cualesquiera, pero si el dominio de una función es un conjunto, entonces la imagen también es un conjunto. También, si la función es inyectiva y el dominio es una clase propia, las imágenes de la función forman necesariamente una clase propia.

* No puede haber un conjunto de todos los conjuntos, luego la clase de todas los conjuntos es una clase propia. (No hay una clase de clases propias, pues ninguna clase tiene como elementos a otras clases propias).

* La clase de todos los números ordinales y cardinales es una clase propia.

_______________

Como en ZFC no hay clases propias, siempre hay que restringirse a conjuntos.
Esto se hace trabajando siempre con algún conjunto bastante grande que contenga todos los objetos que vamos a tratar en cierto problema o teorema.

Luego, es común escribir conjuntos en la forma \( \{x\in C: P(x)\} \).
Lo mismo al usar cuantificadores, se cuantifica con variables que pertenecen a algún conjunto.

\( \exists x\in C:........................ \forall x\in C:............... \)

Los ordinales o cardinales se tratan en forma "parcial", se toman todos los "menores" que alguno grande, de manera que formen un conjunto.

_____________

Por último, las intersecciones sobre familias vacías de conjuntos están prohíbidas.
En una teoría con clases propias, la intersección de una familia vacía de conjuntos da la clase universal.

La clase universal tiene una definición simple: \( U=\{x:x=x\} \).

En general, la clase complementaria de un conjunto siempre es una clase propia.
Así, el \( \emptyset =\{x:x\neq x\} \) es complementario del universo.

______

Pero hay que recordar que en ZFC las clases propias no existen, sólo existen las fórmulas que las "definirían", pero no corresponden a conjuntos ni clases de ningún tipo.

Ssaludos

29 Noviembre, 2011, 08:20 am
Respuesta #53

argentinator

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Mil gracias por tomarte el trabajo de pensar en lo que había propuesto.


A veces me sorprende que las preguntas vayan para un lado que yo no me esperaba,
pero para eso está el curso. La idea es que le sirva a quien lo "usa".

Hacerse estas preguntas tuyas es algo bueno.

Quizá tenga que ampliar el alcance de los objetivos del curso, si es que surgen cosas como ésta más seguido.
Lo que ocurre es que demostrar todo rigurosamente en ZFC a veces es muy arduo, y es una cuestión técnica.

Me parece más útil desarrollar una habilidad de cálculo con conjuntos, una intuición del manejo de los mismos y sus aspectos más interesantes, como cardinales y ordinales, de cara a las aplicaciones.
Las sutilezas técnicas debieran venir medio al final del curso, cuando uno ya tiene experiencia.
Eso es lo que pienso. Pero no me molestan los planteos que has hecho.

Saludos

05 Diciembre, 2011, 06:10 am
Respuesta #54

Fran Colegiales

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Hola Argentinator:

Acá envío el ejercicio 2.4 (f) para corrección. Me costó mucho hacerlo, y aunque lo he pensado bastante no me siento seguro de que está bien. Tampoco sé qué significa "en forma de teorema", pero escribí lo más preciso y general que pude escribir sobre el asunto.

Ejercicio 2.4. Sean\(  f:A\to B, g:B\to C. \)
(f) Recolecte las respuestas (b)-(e) en la forma de un Teorema.

\( g \circ f \) es inyectiva si y sólo si \( f \) es inyectiva y el siguiente subconjunto de \( R_g \) también es inyectivo -\( R_g \) es la regla de asignación de la función \( g \)-: \( \{(x, y)| (x, y) \in{R_g} \wedge x \in{f(A)}\} \)

\( g \circ f \) es sobreyectiva si y sólo si \( g \) es sobreyectiva y para cada elemento de C se cumple que alguna de sus preimágenes por \( g \) tiene al menos una preimagen por \( f \).

Cuando termine con los otros también los mando, porque se me están poniendo difíciles.

Saludos. Que andés bien.

07 Diciembre, 2011, 12:41 am
Respuesta #55

argentinator

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Hola.

En realidad creo que no tengo claro qué se supone que hay que hacer con el inciso (f), después de todo, "poner los incisos anteriores en forma de teorema" lo único que significa es volver a enunciar los incisos anteriores tal como están.

Salvo, claro está, en aquellos incisos en los que pide averiguar qué pasa con las funciones f, g, cuando la composición de ellas es inyectivo o suryectiva.

Lo que ocurre en esos casos es que una de las dos funciones es necesariamente inyectiva (en el primer caso) o suryectiva (en el 2do caso). Hay que decir cuál de las dos, en cada caso.

____________

Le veo más sentido como ejercicio a los anteriores incisos, pero al (f)... No sé qué es lo que pretende. Pero podemos ensayar algunas posibilidades.

Lo que sí pienso es que no hay que hacer ahí nada de lo que has hecho con las "reglas de asignación", sino que hay que mantenerse en el estricto lenguaje de "funciones".

Hay que precisar lo que pasa en los incisos (c) y (e). Eso es más importante.


26 Diciembre, 2011, 04:49 pm
Respuesta #56

Aivan

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Hola Argentinator, ¿cómo andas?. Por fin me libere de la facultad y ahora puedo meterme un poco más en el curso. Me gustaría hacerte una consulta sobre un ejercicio determinado:

1.2 e) \( \textsf{A - (A - B)} \subset{ B}  \)

Veamos... \( \textsf{A - (A - B)} =  \{x:x \in{A} \wedge x\not\in{(A-B)}\} \)

\( x \not\in{(A-B)} \longrightarrow{x \in{(A-B)^c}} \longrightarrow{(A-B)^c = \{x:x \not\in{A} \vee x\in{B}\}} \)

\( \textsf{A - (A - B)} \subset{ B} = x \in{A} \wedge (x \not\in{A} \vee x\in{B}) \Rightarrow{x \in{B}} \)

\(  x \not\in{A} \vee (x\in{A} \wedge x\not\in{B}) \vee x\in{B}  \) (Por \(  p \Rightarrow{q} \equiv{\sim{p}\vee q} \) )

Resolviendo un poco: \( (( x\not\in{A} \vee x\in{A}) \vee (x\not\in{A} \vee x\not\in{B})) \vee x\in{B}  \)

Esto va a quedar de la forma: \(  (U \cap{(A^c \cup{B^c}}) \cup{B} \)

Que es lo mismo que decir: \(  A \cap{B} \subset{B} \)

Bien, mi consulta es si esa expresión (\(  A \cap{B} \subset{B} \)) alcanza para que quede demostrada la preposición. Intuitivamente me dice que siempre pasa, el tema es que no sé si es suficiente. Puedo reducirlo al absurdo y probablemente obtenga algo "más conciso". ¿Qué decís?.

Desde ya muchas gracias.

26 Diciembre, 2011, 09:19 pm
Respuesta #57

argentinator

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Uno de los pasos intermedios está muy desprolijo, porque pusiste que B es igual a una expresión lógica, lo cual no tiene ningún sentido.

Las ideas parecen correctas, pero has hecho uso del universal U y de los conjuntos complementarios...

Eso lleva al uso de "clases propias", y esto trae dos problemas:

* Operar con clases propias puede traer algunos riesgos si uno no opera con cuidado, por ejemplo, si uno olvida que una clase propia no es un conjunto, e intenta calcular el conjunto de "partes"... un desastre.

* Hay teorías de conjuntos donde no se usan las clases propias, sino sólo conjuntos, y por lo tanto el "U" no estaría allí.

Pienso que es más directo y preferible en este caso usar solamente la definición de "resta de conjuntos", y traducirlo a lenguaje lógico.
En ese caso, aparecen "negaciones", las que se comportan bien si uno no pierde de vista todas las proposiciones que van apareciendo.

_______________

Además, lo más claro es empezar por el principio.

¿Qué hay que probar? La inclusión \( \textsf{A - (A - B)} \subset{ B}  \).
Pero esto equivale a demostar que si x es un elemento en el conjunto de la izquierda, entonces x pertenece al conjunto de la derecha, B.

Esta manera estándar de proceder es más clara, y debiera ser suficiente para arribar a la conclusión.

Te invito a intentar reescribir la prueba de este modo.

Saludos

26 Diciembre, 2011, 09:36 pm
Respuesta #58

argentinator

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En cuanto a la última pregunta, la respuesta es afirmativa, ya que si x está en la intersección de A y B, entonces obviamente está en B, y eso prueba la inclusión que escribiste a lo último.

Saludos

26 Diciembre, 2011, 10:38 pm
Respuesta #59

Aivan

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Citar
Uno de los pasos intermedios está muy desprolijo, porque pusiste que B es igual a una expresión lógica, lo cual no tiene ningún sentido.

¿Te referís a: \( \textsf{A - (A - B)} \subset{ B} = x \in{A} \wedge (x \not\in{A} \vee x\in{B}) \Rightarrow{x \in{B}} \), no?. Si, la verdad que me parece bastante desprolijo ahora que lo veo.

Hice otra resolución Argentinator, pero todavía no sé como no utilizar conjuntos complementarios:

\(  A - (A - B) \subset{B} \)

\(  x \in{(A-(A-B))} \Rightarrow{x \in{B}} \)

\(  x \in{(A-(A-B))} \equiv{x \in{A} \wedge x\not\in{(A-B)}} \)

\(  x\in{A} \wedge (x\not\in{A} \vee x\in{B})  \)

\(  (x\in{A} \wedge x\not\in{A}) \vee (x\in{A} \wedge x\in{B}) \)

Esto es equivalente a decir: \(   (A\cap{A^c}) \cup{(A\cap{B})} \)

\(   \emptyset \cup{(A\cap{B})} \equiv{A\cap{B}}  \)

Y bueno, de acá concluímos que \(  A\cap{B} \Rightarrow{B} \).

Igualmente voy a buscar otra solución sin complementarios y cualquier cosa te pregunto.

Saludos