Autor Tema: Baricentro e incentro

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12 Julio, 2011, 04:45 pm
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Michel

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¿Qué condiciones han de cumplir las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera para que la línea que une el baricentro y el incentro sea paralela a uno de los lados?
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

21 Julio, 2011, 09:13 am
Respuesta #1

Michel

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Sea el triángulo ABC. En la mediana AM, el punto G tal que GM=AM/3 es el baricentro.
Si I es el incentro, ID=r es el radio del círculo inscrito en en el triángulo.
Supongamos que GI es paralela al lado BC.
Sea AH=h la altura del triángulo.
Por el teorema de Thales: GM/AM=EH/AH=1/2; por tanto r=ID=EH=h/3.
El área S de un triángulo en función del semiperímetro p y del radio r del círculo inscrito es S=pr=ph/3, y también es S=ah/2.
Igualando ambas expresiones:
ph/3=ah/2,   2p=3a,   a+b+c=3a,   a=(b+c)/2
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker