Autor Tema: Función proposicional

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08 Julio, 2011, 03:24 am
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nktclau

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Hola GENTE!!! me podrían dar una ayudita por favor con los siguientes ejercicios?? los estoy retomando tímidamente ya que me han costado mucho la primera vez y pretendo salir adelante con esto!!quisiera saber si están bien hechos por favor. GRACIAS A TODOS!!!  ;) ;)
a) Expresar simbólicamente el siguiente enunciado: "Todos los números pares son múltiplos de cuatro"  \( \color{red} \forall{x}\exists{y}/2x=2y \)

b) Negar la siguiente proposición: \( \color {blue} \forall{x}(x>3\Longrightarrow{x+3>6) } \)
               Solución:
               \( \color{red} \sim[{\forall{x}}(x>3\Longrightarrow{x+3>6) ] \)

               \( \color{red}\exists{x}/x>3 \wedge x+3\leq{6} \) ya que  \( \sim{(p\Rightarrow{q})}\equiv{p\wedge \sim{q}} \)

c) Escribir la siguiente proposición en lenguaje simbólico y negarla: "Un entero es divisible por seis si y sólo si lo es por 2 y por 3"

\( \color{red}\exists{x\forall{y\forall{n\forall{k}}}}/x=6y\Longleftrightarrow{x=3n}\wedge x=2k \)

La negación sería: \( \color{red} \forall{x}\exists{y}\exists{n}\exists{k}/x=6y\Longleftrightarrow{x\neq{3n}\vee x\neq{2k}} \)

08 Julio, 2011, 04:47 am
Respuesta #1

aladan

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Hola nktclau

En este tema estoy absolutamente perdido, entiendo o creo entender que se trata de un ejercicio teórico sobre la denominada función proposicional independientemenete de que lo que se proponga sea verdadero o falso, a ver si aprendo.

Saludos
Siempre a vuestra disposición

08 Julio, 2011, 05:43 am
Respuesta #2

Máthêma

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Hola,

Una recomendación para todos los ejercicios es el uso de los paréntesis, son bastante importantes para determinar en donde actúa, cuál es el "rango de acción", de cada uno de los cuantificadores.


a) Expresar simbólicamente el siguiente enunciado: "Todos los números pares son múltiplos de cuatro"  \( \color{red} \forall{x}\exists{y}/2x=2y \)
En este no veo que expreses el enunciado correctamente. Inténtalo de nuevo notando que esa proposición es equivalente a decir: "Si un número es par, entonces es múltiplo de 4".

b) Negar la siguiente proposición: \( \color {blue} \forall{x}(x>3\Longrightarrow{x+3>6) } \)
               Solución:
               \( \color{red} \sim[{\forall{x}}(x>3\Longrightarrow{x+3>6) ] \)

               \( \color{red}\exists{x}/x>3 \wedge x+3\leq{6} \) ya que  \( \sim{(p\Rightarrow{q})}\equiv{p\wedge \sim{q}} \)
Bien, tan sólo lo que te comenté de los paréntesis:
\( \sim[{\forall{x}}(x>3\Longrightarrow{x+3>6) ]\equiv{}\exists{x}(x>3 \wedge x+3\leq{6}) \).

c) Escribir la siguiente proposición en lenguaje simbólico y negarla: "Un entero es divisible por seis si y sólo si lo es por 2 y por 3"
\( \color{red}\exists{x\forall{y\forall{n\forall{k}}}}/x=6y\Longleftrightarrow{x=3n}\wedge x=2k \)
La negación sería: \( \color{red} \forall{x}\exists{y}\exists{n}\exists{k}/x=6y\Longleftrightarrow{x\neq{3n}\vee x\neq{2k}} \)
Esta escríbela de nuevo con los respectivos paréntesis, no todos los cuantificadores deben situarse al principio de la proposición. Además, recuerda que \( a\in{\mathbb{Z}} \) es divisible por \( k\in{\mathbb{Z}}\;(k\neq 0) \) si existe un \( m\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( a=mk \).

Saludos.

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08 Julio, 2011, 04:02 pm
Respuesta #3

nktclau

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Hola Aladan!! que bueno que estemos aprendiendo juntos es un honor!!! ;) ;)
Con respeto a:
entiendo o creo entender que se trata de un ejercicio teórico sobre la denominada función proposicional independientemenete de que lo que se proponga sea verdadero o falso, a ver si aprendo.
Es CORRECTO!!  :aplauso: :aplauso:
Un gusto Máthêma ¿que tal? antes que nada MUCHISIMAS GRACIAS POR LA GRAN AYUDA!!  ;)
A ver los puntos:
a) Expresar simbólicamente el siguiente enunciado: "Todos los números pares son múltiplos de cuatro
Sería \( \forall{x}\exists{y}/(2x=4y) \)  ??? ???

c) Escribir la siguiente proposición en lenguaje simbólico y negarla: "Un entero es divisible por seis si y sólo si lo es por 2 y por 3"
Proposición Simbolica: \( \forall{a}\exists{m}/[ (a=m6)\Longleftrightarrow{(a=2k)\wedge} (a=3b) ] \)

Negación:\( \exists{a}\forall{m}/\sim{[(a=m6)\Longleftrightarrow{(a=2k)\wedge} (a=3b)]} \). Como \( \color {blue} \sim{(p\Leftrightarrow{q})}\equiv{p\Leftrightarrow{\sim{q}}} \)

\( \exists{a}\forall{m}/(a=m6)\Leftrightarrow{\sim{[(a=2k)\wedge (a=3b)]}} \). Por ley de Morgan \( \color{blue}\sim{(p\wedge q)}\equiv{\sim{p} \vee \sim{q}} \)

\( \exists{a}\forall{m}/(a=m6)\Longleftrightarrow{[(a\neq{2k})\vee (a\neq{3b})]} \) Estará bien??? GRACIAS NUEVAMENTE!!

08 Julio, 2011, 09:40 pm
Respuesta #4

Máthêma

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Hola,
Un gusto ayudarte.

a) Expresar simbólicamente el siguiente enunciado: "Todos los números pares son múltiplos de cuatro
Sería \( \forall{x}\exists{y}/(2x=4y) \)
Sé lo que dice la expresión simbólica y es correcta por que ya he leido el enunciado pero, creeme que sería muy dificil hacer el proceso inverso, convertirla a exactamente las mismas palabras, si el enunciado no se conoce. Si quieres, puedes intentar expresar el enunciado de otra forma (¿leiste lo que escribí?), también es correcto el bicondicional: "x es un número par si y sólo si x es múltiplo de 4".

c) Escribir la siguiente proposición en lenguaje simbólico y negarla: "Un entero es divisible por seis si y sólo si lo es por 2 y por 3"
Proposición Simbolica: \( \forall{a}\exists{m}/[ (a=m6)\Longleftrightarrow{(a=2k)\wedge} (a=3b) ] \)
Le faltan cosas, ¿cuáles son los cuantificadores para \( k \) y \( b \)? Llena la parte en rojo con ellos:

          \( \forall{a}[\exists{m}(a=6m)\Longleftrightarrow{}(\color{red}\boxed{?}\color{black}(a=2k)\wedge \color{red}\boxed{?}\color{black}(a=3b))] \)

En la negación no tienes problema, ahora debes hacerla con estas correcciones. Saludos.
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09 Julio, 2011, 02:55 pm
Respuesta #5

nktclau

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Hola Máthêma GRACIAS por la ayuda, de verdad.
He leido todo lo que has escrito pero este tema me cuesta mucho, me he prometido entenderlo, ya que lo había dejado al cursado, por que me cuesta, así que disculpa si por ahi vuelvo a cometer errores.
De algo estoy segura me sirve mucho esto de completar y corregir mis propios errores así aprendo NUEVAMENTE MILLON DE GRACIAS POR ENSEÑARME!!  ;)
Sé lo que dice la expresión simbólica y es correcta por que ya he leido el enunciado pero, creeme que sería muy dificil hacer el proceso inverso, convertirla a exactamente las mismas palabras, si el enunciado no se conoce. Si quieres, puedes intentar expresar el enunciado de otra forma (¿leiste lo que escribí?), también es correcto el bicondicional: "x es un número par si y sólo si x es múltiplo de 4".
Creo puede llegar a ser así \( \forall{x}\exists{y}/(x=2y\Longleftrightarrow{x=4(2y)) \). ???

c) Escribir la siguiente proposición en lenguaje simbólico y negarla: "Un entero es divisible por seis si y sólo si lo es por 2 y por 3"

Vamos de nuevo  ::):\(  \forall{a}\exists{m}/[(a=m6)\Leftrightarrow{[(\exists{k/a=2k})\wedge (\exists{b}/a=3b)]}] \)

Negación:\(  \exists{a}\forall{m}/(a=m6)\Leftrightarrow{[(\forall{k}/a\neq{2k}) \vee (\forall{b}/a\neq{3b})]} \)

Voy atrasada con estos ejercicios pero vale la pena pensarlos y repensarlos GRACIAS Máthêma   ;)

09 Julio, 2011, 08:17 pm
Respuesta #6

Máthêma

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Hola,

He leido todo lo que has escrito pero este tema me cuesta mucho, me he prometido entenderlo, ya que lo había dejado al cursado, por que me cuesta, así que disculpa si por ahi vuelvo a cometer errores.
No hay que pedir disculpas por cometer errores, pero sí me disgustaría si no intentas remediarlos.

Creo puede llegar a ser así \( \forall{x}\exists{y}/(x=2y\Longleftrightarrow{x=4(2y)) \).
No, si \( x=4(2y) \) y \( x=2y \), entonces \( x=4(2y)\Rightarrow{}x=4x \), lo cual no es válido para nuestros propósitos, debes nombrar otra variable para decir que x es múltiplo de 4.

\(  \forall{a}\exists{m}/[(a=m6)\Leftrightarrow{[(\exists{k/a=2k})\wedge (\exists{b}/a=3b)]}] \)
Negación:\(  \exists{a}\forall{m}/(a=m6)\Leftrightarrow{[(\forall{k}/a\neq{2k}) \vee (\forall{b}/a\neq{3b})]} \)
No, el cuantificador de m no cambia ya que va asociado a \( a=6m \):
\(  \forall{a}[\exists{m}(a=m6)\Leftrightarrow{[(\exists{k/a=2k})\wedge (\exists{b}/a=3b)]}] \)
Negación: \(  \exists{a}[\exists{m}(a=m6)\Leftrightarrow{[(\forall{k}/a\neq{2k}) \vee (\forall{b}/a\neq{3b})]}] \)

Saludos.
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10 Julio, 2011, 01:53 am
Respuesta #7

nktclau

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Creo puede llegar a ser así \( \forall{x}\exists{y}/(x=2y\Longleftrightarrow{x=4(2y)) \).
No, si \( x=4(2y) \) y \( x=2y \), entonces \( x=4(2y)\Rightarrow{}x=4x \), lo cual no es válido para nuestros propósitos, debes nombrar otra variable para decir que x es múltiplo de 4.
  :'( :'( :'( :'( :'(
Me doy Máthêma, enseñame como es por favor  :banghead: :banghead: :banghead: :banghead:

GRACIAS

10 Julio, 2011, 02:07 am
Respuesta #8

Máthêma

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Hola,
No te des por vencida tan pronto y hagamoslo por partes. Escribe las proposiciones independientemente, una por cada numeral (yo sé que lo sabes hacer):
1) x es un número par.
2) x es un múltiplo de 4.
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10 Julio, 2011, 03:19 am
Respuesta #9

nktclau

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Hola!!! Máthêma GRACIAS!!!! ;)
a ver...  :(
1) x es un número par.\(  \forall{x}\exists{k}(x=2k) \)
2) x es un múltiplo de 4. \( \forall{x}\exists{m}(x=4m) \)

10 Julio, 2011, 03:25 am
Respuesta #10

Máthêma

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Exacto, ahora únelas con un si y sólo si de esta forma:
Creo puede llegar a ser así \( \forall{x}\exists{y}/(x=2y\Longleftrightarrow{x=4(2y)) \)
y recuerda que cada cuantificador va con su proposición, como el cuantificador de x sale en ambas, va al principio.
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10 Julio, 2011, 03:28 am
Respuesta #11

nktclau

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a ver???  ???
\( \forall{x}/\left([\exists{k}(x=2k) ]\Longleftrightarrow{[\exists{m}(x=4m)]}\right)  \)


GRACIAS!!

10 Julio, 2011, 03:36 am
Respuesta #12

Máthêma

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\( \forall{x}/\left([\exists{k}(x=2k) ]\Longleftrightarrow{[\exists{m}(x=4m)]}\right)  \)
Exacto, jamás te rindas. Si es necesario, pide alguna sugerencia de más y verás que va a ser mucho más provechoso.
Saludos.
PD: A mi no se me da muy bien la pedagogía.
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10 Julio, 2011, 04:23 pm
Respuesta #13

nktclau

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PD: A mi no se me da muy bien la pedagogía.
Pero eres un EXCELENTE PROFESOR!!!!!!!!!!!!! GRACIAS GRACIAS GRACIAS!!!!!!!! por tu PACIENCIA, CONSEJOS y GRAN GRAN AYUDA,  :aplauso: :aplauso: :aplauso: