Autor Tema: Traducir sin cuantificadores

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08 Julio, 2011, 05:10 pm
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nktclau

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Hola!!! tengo un problema con el siguiente ejercicio y es que no sabía ni como arrancar siquiera hice el primero pero no se si estará bien ¿podría alguien ayudarme?? por favor, muchas gracias.
Dadas las siguientes proposiciones.
        a) No todo primo es impar
        b) Existe un número entero que es divisible por dos pero no por cuatro
        c) Ningún entero natural es negativo
        d) algunos enteros son pares y múltiplos de tres

1) Traducir en símbolos sin usar cuantificadores universales
a) No todo primo es impar

\( \exists{x}\forall{y}/(x \textsf{ es primo }) \wedge (x\neq{2y+1}) \)

2) Traducir en símbolos sin usar cuantificadores existenciales

\( \forall{x}\exists{y}/(x es primo) \wedge (x\neq{2y+1}) \) ??? :banghead: :banghead:

08 Julio, 2011, 10:16 pm
Respuesta #1

Máthêma

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Hola,
El propósito de éste ejercicio es proporcionar, al menos, otra forma de expresar simbólicamente un enunciado a través de las equivalencias de los cuantificadores (¿las conoces?), estas son algunas:
          Sea \( P(x) \) una proposición verdadera para x:
          \( \exists{x}(P(x))\equiv{}\sim{}[\forall{x}(\sim{}P(x))] \quad\quad \forall{x}(P(x))\equiv{}\sim{}[\exists{x}(\sim{}P(x))] \)

1) Traducir en símbolos sin usar cuantificadores universales
a) No todo primo es impar
\( \exists{x}\forall{y}/(x \textsf{ es primo}) \wedge (x\neq{2y+1}) \)
Si sólo te pidieran traducirla, estaría bien (aunque queda mejor si pones los cuantificadores en partes más especificas: \( \exists{x}[(x \) es primo \( )\wedge \forall{y}(x\neq 2y+1)] \)).

Te aconsejo que primero las pases a lenguaje simbólico (como lo hiciste para la primera) y luego, depende lo que te pidan (sin cuantificadores universales/existenciales), la conviertas a otra expresión equivalente. Te ayudo con la primera: \( P(x):=x \) es primo.
\( \exists{x}[P(x) \wedge \forall{y}(x\neq 2y+1)]\equiv{}\exists{x}[P(x)\wedge \sim{}[\exists{y}(x=2y+1)]] \).
Saludos.
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09 Julio, 2011, 04:02 pm
Respuesta #2

nktclau

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Hola Máthêma, GRACIAS antes que nada. Te cuento que no las conocía a las equivalencias de los cuantificadores. Después de verlo y hacer el ejercicio me queda una duda.
Yo digo \( P(x): x \) es primo
\( \exists{x}/P(x)\wedge\forall{y}(x\neq{}2y+1)\equiv{\sim{\left [\forall{x}/\sim{[P(x)\wedge}\forall{y}(x\neq{2y+1})}}\right]] \)

Aquí aplico una "distributiva de la negación que está dentro" \( \sim[{\forall{x}}/\sim{}P(x)\vee \exists{y}(x=2y+1)] \)

Ahora aplico la "distributiva de la negació que esta fuera" \( \exists{x}/{P(x) \wedge}\sim{[\exists{y}/(x=2y+1)]} \) ahí me queda todo sin cuantificadores universales, y tuve que aplicar Ley de Morgan.
Pero que hice mal  ???? porque no me queda igual que a Tí ??  ??? ??? :-\
 
GRACIAS!!
Ya encontré mi error!!!!! mientras leía 

09 Julio, 2011, 04:34 pm
Respuesta #3

nktclau

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Vamos con:
        b) Existe un número entero que es divisible por dos pero no por cuatro

\( P(x): x \) es divisible por 2 y \( Q(x):x \) es divisible por cuatro

\( \underbrace{\exists{x}/P(x)\wedge \sim{Q(x)}}_{\color{red} (1)}\equiv{\sim{[\forall{x}/\sim{[P(x)\wedge \sim{}Q(x)]}}}\equiv{\underbrace{\sim{[\forall{x}/\sim{P(x)}\vee Q(x)]}}_{\color{blue} (2)}} \)

(1) sin cuantificadores universales y (2) sin cuantificadores existenciales

Otra forma de realizarlo (no se si estará bien) para exigirme un poco más e ir puliendo errores

\( P(x): \exists{x}\exists{m}/x=2m \) y \( Q(x): \exists{x}\exists{y}/x=4y \)

Sin cuantificadores universales: \( \exists{x}/[\exists{m}(x=2m)\wedge\sim{(\exists{y}(x=4y)}] \)

Sin cuantificadores existenciales:\(  \sim{[\forall{x}/\forall{m}(x=2m)\vee \sim{(\forall{y}(x\neq{}4y)}]} \)  ??? ???

GRACIAS!!!

09 Julio, 2011, 08:29 pm
Respuesta #4

Máthêma

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Hola,

        b) Existe un número entero que es divisible por dos pero no por cuatro

\( P(x): x \) es divisible por 2 y \( Q(x):x \) es divisible por cuatro

\( \underbrace{\exists{x}/P(x)\wedge \sim{Q(x)}}_{\color{red} (1)}\equiv{\sim{[\forall{x}/\sim{[P(x)\wedge \sim{}Q(x)]}}}\equiv{\underbrace{\sim{[\forall{x}/\sim{P(x)}\vee Q(x)]}}_{\color{blue} (2)}} \)

(1) sin cuantificadores universales y (2) sin cuantificadores existenciales
Correcto.

Otra forma de realizarlo (no se si estará bien) para exigirme un poco más e ir puliendo errores
Me agrada que tengas esa forma de pensar.

\( P(x): \exists{x}\exists{m}/x=2m \) y \( Q(x): \exists{x}\exists{y}/x=4y \)
Nota que en las dos últimas expresiones no utilizaste ni P(x) ni Q(x), luego no es necesario enunciarlas. En realidad prefiero que no trabajes las expresiones simbólicas así primero, para practicar con los cuantificadores que se dan en los enunciados de divisibilidad.

Sin cuantificadores universales: \( \exists{x}/[\exists{m}(x=2m)\wedge\sim{(\exists{y}(x=4y)\color{red})\color{black}}] \)

Sin cuantificadores existenciales:\(  \sim{[\forall{x}/\forall{m}(x\color{red}\not\color{black}=2m)\vee \sim{(\forall{y}(x\neq{}4y)}]} \)
Es correcta la expresión sin cuantificadores universales. Fallas en la negación de \( \exists{m}(x=2m) \), nota que \( \sim{}(\exists{x}(R(x)))\equiv{}\forall{x}(\sim{}R(x)) \). Continúa, saludos.


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