Autor Tema: Suma de medianas

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05 Julio, 2011, 04:43 pm
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Michel

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Demostrar que la suma de las tres medianas de un triángulo es mayor que los tres cuartos del perímetro.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

08 Julio, 2011, 09:17 am
Respuesta #1

Michel

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Sean AA'=ma, BB'=mb, CC'=mc las medianas del triángulos ABC, con AB=c, BC=a, CA=b. G el baricentro.

Por la desigualdad triangular y teniendo en cuenta la propiedad del baricentro,

en el triángulo BGC: 2mb/3+2mc/3<a
en el triángulo CGA: 2mc/3+2ma/3<b
en el triángulo AGB: 2ma/3+2mb/3<c

Smando: 4(ma+mb+mc/3<a+b+c, de donde ma+mb+mc<3(a+b+c)/4
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker