Autor Tema: Clase de triángulo

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26 Junio, 2011, 04:48 pm
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Michel

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Un triángulo RST, rectángulo en R, está inscrito en una circunferencia. Se traza una tangente por S. La bisectriz del ángulo T corta a RS en V y a la tangente en W. a) Probar que el triángulo VSW es isósceles. b) ¿Cuándo será equilátero el triángulo VSW?
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

26 Junio, 2011, 09:35 pm
Respuesta #1

aladan

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Hola

Por construcción se verifica

          \( \angle SVT=90+\dfrac{\angle RTS}{2}\Rightarrow{\angle SVW=90-\dfrac{\angle RTS}{2}=\angle SWV}\Rightarrow{\triangle SVW\;\rightarrow{}SW=SV} \)

Ese triángulo será equilátero cuando \( \angle RTS=60 \)

Saludos

Siempre a vuestra disposición

27 Junio, 2011, 09:15 am
Respuesta #2

Michel

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Hola.

Sigo pensando que es esencial la figura; con ella se facilita la lectura de la solución. Piensa que muchos foreros están aprendiendo Geometría con estos problemas

Por otra parte, creo que se deben explicar más los pasos. Por ejemplo, la primera expresión no puede decirse que resulte por construcción, ya que es consecuencia de un teorema, que se debe citar.

¿Estás de acuerdo?

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

27 Junio, 2011, 08:44 pm
Respuesta #3

aladan

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Tienes razón, me he saltado demasiadas cosas.

Empecemos por el dibujo y sus explicación. Para que un triángulo rectángulo STR, recto en R, esté inscrito en una circunferencia es necesario que su hipotenusa ST sea igual al diametro de la circunferencia circunscrita para que el ángulo inscrito R, sea recto el ángulo central que define el mismo arco de circunferencia debe ser un ángulo llano. Si algún lector necesita la demostración de  la medida de todo ángulo inscrito com la mitad del ángulo central con el que comparte arco la haremos a petición.

Dibujo



Otra cuestión no citada en la que se apoya la respuesta anterior es el teorema que dice que la suma de los ángulos internos de todo triángulo es igual a 2 rectos, es decir a 180º. Si es necesario mostraremos su  demostración.

No creo sea necesario, pero por si es útil, recordaremos que la bisectriz de un ángulo lo divide en dos iguales, por definición. Así como que la recta tangente a la circunferencia en S es perpendicular al diametro ST.

Intentaré explicar en base a lo anterior, la frase "Por construcción" y las expresiones que la siguen.

Hemos construido el triángulo SVT, que comparado con el SRT comparte el ángulo en S, su ángulo en T es la mitad de lo que se deduce que el ángulo en V excede al ángulo en R de SRT en T/2, esto es

         \( \angle SVT=90+\dfrac{\angle RTS}{2} \)

en V como vértice de un ángulo llano se cumple

          \( \angle SVT+\angle SVW=180\Rightarrow{\angle SVW=180-\angle SVT=90-\dfrac{\angle RTS}{2}} \)

Analizando ahora el triángulo rectángulo WST, recto en S y cuyos ángulos agudos satisfacen

         \( \angle SWT+\angle WTS=90\Rightarrow{\angle SWT=90-\angle WTS=90-\dfrac{\angle RTS}{2}=\angle SVT} \) (1)

(1) muestra que  el triángulo SVW tiene al menos 2 ángulos iguales, es por tanto isósceles que pasará a equilátero cuando dichos ángulos iguales to,em el valor de 60º lo que únicamente sucede cuando

                \( \dfrac{\angle RTS}{2}=30\Rightarrow{\angle RTS=60} \)

Espero se entienda.

Saludos


 
Siempre a vuestra disposición

28 Junio, 2011, 09:41 am
Respuesta #4

Michel

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Hola aladan, "ni tanto, ni tan calvo", que decimos por aquí.

Creo que bastaría decir que la hipotenusa del triángulo es el diámetro, por eso de los ángulos inscritos; y lo de la suma de dos ángulos interiores de un triángulo, ideas menos conocidas; pero no que la bisectriz es..., ni que la suma de los ángulos de un triángulo... Y por supuesto, sin demostraciones.

Y conste que no pretendo sentar cátedra en cuanto a la forma de hacer problemas, pero sí quiero dar mi opinión, igualmente que escucho las de los demás.
 
¿De acuerdo?

Otra cosa, yo eliminaría los ejes de coordenadas en estos dibujos.
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L. Kronecker