Autor Tema: Puntos simétricos

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23 Junio, 2011, 10:20 am
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Michel

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Demostrar que los puntos simétricos del ortocentro respecto de los lados de un triángulo están en la circunferencia circunscrita al triángulo.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

27 Junio, 2011, 06:54 pm
Respuesta #1

Michel

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Sea H el ortocentro del triángulo ABC y H' la intersección de la altura AA' (prolongada) con la circunferencia circunscrita al triángulo.

Los triángulos AA'C y BB'C son rectángulos en A' y B', respectivamente, por ser AA' y BB' alturas; como tienen común el ángulo C, los ángulos 1 y 2 son iguales, por ser complementarios del C.

Por otrea parte, los ángulos 2 y 3 son iguales por ser inscritos en la circunferencia y abarcar el mismo arco CH'.

Entonces los ángulos 1 y 3 son iguales, por lo que los triángulos rectángulos BA'H y BA'H' son iguales (tienen un ángulo agudo igual y un cateto común), resultando HA'=HH', por lo que H y H' son simétricos respecto del lado BC.

Análogamente se hace respecto de los otros lados del triángulo.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker