Autor Tema: Círculo inscrito

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20 Junio, 2011, 05:25 pm
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Michel

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Dadas tres circunferencias de radios r, r’ y r’’, cada una tangente exteriormente a las otras dos, calcular el radio del círculo inscrito en el triángulo que tiene por vértices los centros de las circunferencias dadas.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

21 Junio, 2011, 06:13 am
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
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Hola.

 Que interesante está la sección se geometría sintética, siempre me gustó mucho la geometría en el colegio.
Spoiler
Me arriesgaré a dar una respuesta sin una solución (por el momento), creo que resulta que el radio buscado es igual a \( \sqrt{\dfrac{r\,r'\,r''}{r+r'+r''}} \)
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Saludos.

21 Junio, 2011, 09:00 am
Respuesta #2

Michel

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Hola Braguildur: bienvenido a GS, con el deseo de que sigas participando.

La respuesta es correcta, ese es el valor del radio.

A este resultado no se llega por una corazonada, sino después de haberlo hecho, así que anímate a enviar el desarrollo que, sin duda, has hecho, acompañado de la correspondiente figura.

Saludos
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

22 Junio, 2011, 08:14 am
Respuesta #3

EnRlquE

  • Lathi
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Hola.

 Con gusto michel, aquí va el esbozo de lo que hice para dar con la respuesta. Consideremos el siguiente gráfico


 En donde la figura de la derecha muestra la circunferencia inscrita al triángulo \( ABC \) de radio \( R \) tangente a los lados del triángulo en \( D' \), \( E' \) y \( F' \). Si \( p \) es el semiperímetro del triángulo \( ABC \), como \( p=r+r'+r'' \), por la relación de Herón entre el área de un triángulo y las longitudes de sus lados, tenemos que si \( S \) es el área del triángulo \( ABC \),

\( S=\sqrt{(r+r'+r'')rr'r''} \);

por otro lado, de la figura de la derecha se deduce que \( S=Rp=R(r+r'+r'') \); de estas dos relaciones concluimos que

\( \boxed{R=\dfrac{S}{r+r'+r''}=\dfrac{\sqrt{(r+r'+r'')rr'r''}}{r+r'+r''}=\sqrt{\dfrac{r\,r'\,r''}{r+r'+r''}}} \).

Spoiler
Como curiosidad, más o menos importante de notar, observamos del dibujo de la izquierda que si \( p \) es el semiperímetro del triángulo \( ABC \) se verifica la igualdad \( p=r+r'+r''=AB+CD \); mientras que de la figura de la derecha se deduce que \( p=AB+CD' \). De esto se concluye que \( D=D' \) y del mismo modo tendremos que \( E=E' \) y \( F=F' \).
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Saludos.

P.D: Por más que quise, al final no pude escapar de recurrir a Herón para evitar que la prueba se tornara bastante más operativa y menos elegante  :-\.