Autor Tema: Conjunto de proposiciones consistente

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23 Mayo, 2011, 07:40 pm
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Shadow_RaZoR

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Hola a todos estoy desesperado estoy estudiando para un examen que tengo en 3 dias y no puedo hacer este ejercicio parte a y parte b.1 me pueden a ayudar a resolverlo asi me doy cuenta como se hace? No se me ocurre por donde arrancar.

Ejercicio:
Para probar que un conjunto de proposiciones es consistente habría que demostrar que no existe
ninguna derivación que concluya \( \perp{} \) partiendo de hipótesis en dicho conjunto. Sin embargo, dicho
mecanismo no es factible ya que en deducción natural no existe forma de probar la inexistencia de
una derivación.

Existe una forma alternativa de probar la consistencia de un conjunto de proposiciones mediante el
Teorema de Completitud denominada Condición necesaria y suficiente de consistencia cuyo
enunciado es el siguiente:
Sea \( T \subseteq{}PROP \) un conjunto de proposiciones. Se cumple que T es consistente si y sólo si
existe una valuación v tal que v(T) = 1.

a) Demuestre la condición necesaria y suficiente de consistencia usando el Teorema de
Completitud.

b) Demuestre que los siguientes conjuntos son consistentes aplicando la condición necesaria y
suficiente de consistencia probada en la parte anterior:
1. \( \left\{{}p\longrightarrow{}q , p\longrightarrow{}noq\right\} \)

Gracias gente :) no se que haria sin ustedes.

Saludos,
Hope this finds you well :)

02 Junio, 2011, 04:28 pm
Respuesta #1

LauLuna

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Hablamos de la lógica de proposiciones, creo.

Que exista una valuación de T tal que v(T) = 1 significa que hay una manera de distribuir valores de verdad a las proposiciones atómicas de las fórmulas de T que hace verdadera a toda fórmula de T. Es lo mismo que decir que T tiene un modelo. Esta es la condición necesaria y suficiente de consistencia.

Si la lógica de proposiciones es completa, cualquier conjunto T consistente según esa lógica es consistente en sentido absoluto: si T implicase una contradicción, la lógica de proposiciones sería capaz de deducir esa contradicción a partir de T (precisamente porque es completa) y el conjunto sería inconsistente según esa lógica.

Pero está claro que un conjunto T es consistente en sentido absoluto si y sólo si hay una manera de hacer a todas sus fórmulas simultáneamente verdaderas, es decir, si T tiene un modelo. Por eso, la completitud implica que la condición de consistencia sea necesaria y suficiente: un conjunto de fórmulas es consistente (según la lógica de proposiciones) si y sólo si tiene un modelo.

Para el segundo ejercicio estudia la tabla de verdad del condicional y encontrarás en seguida la manera de hacer verdaderas simultáneamente a ambas proposiciones.

Un saludo.