Autor Tema: Ejemplos de espacios conexos

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02 Junio, 2011, 07:41 am
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aeonxxx

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Hola, que tal? No se me ocurren ejemplos en espacios métricos para ver esto:

1) A y B conexos, su intersección no es necesariamente conexo

2) Si A es conexo, int(A) no es necesariamente conexo

Deben ser muy sencillos, realmente...pero no me están saliendo.
Si me dan una mano, gracias.

Saludos

02 Junio, 2011, 02:41 pm
Respuesta #1

jbgg

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Para el a) con espacios de elementos finitos es fácil:
Sea \( X=\{1,2,3,4,5,6\} \), con la topología \( \tau_X=\{ \emptyset,X,\{3\},\{4\},\{3,4\} \} \).
El conjunto \( A=\{1,2,3,4\}\mbox{ y }B=\{3,4,5,6\} \) son conexo, y su intersección no lo es:
\( A\cap B=\{3,4\}=\{3\}\cup\{4\} \) (se pone como unión de abiertos no triviales)

Para el b) a la ligera no caigo, si se me ocurre algo luego lo pongo.

02 Junio, 2011, 05:08 pm
Respuesta #2

aeonxxx

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Gracias por responder jbgg.

Como era medio tarde, me olvidé de aclarar que los ejemplos debían ser en espacios métricos.
Como espacio métrico los conjuntos q me pusiste no son conexos...no?

Saludos

02 Junio, 2011, 06:40 pm
Respuesta #3

jbgg

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Aaah okok, en realidad pensé preguntarte en qué contexto, te voy a dar la idea de como puede ser, en \( \mathbb{R}^2 \) los siguientes conjuntos, el que está en naranja, que son los cuadrantes 2º,3º y 4º y la recta que la corta, está claro que estos son conexos y como puedes ver su intersección no es conexa.


02 Junio, 2011, 10:04 pm
Respuesta #4

Don Equis

  • Aprendiendo de a poco...
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Hola.

En el 1, imagínate dos medialunas que se tocan en las puntas. La intersección serán las puntas aisladas, mientras que cada conjunto era conexo.

En el 2, imagínate dos círculos rellenos unidos en un punto. Cuando tomes el interior, te quedarán ambos círculos, pero aislados ambos.

Saludos.
I believe a leaf of grass is no less than the journey-work of the stars.

 \( e^{i\pi}+1=0 \)

02 Junio, 2011, 10:13 pm
Respuesta #5

aeonxxx

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