[hupavi]

Hola
desearía una idea para demostrar que la función \( f:(X,d)\longrightarrow{} [0,1] \) definida por:
\( f(x)=\displaystyle\frac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)} \) es una función continua de \( X \) espacio métrico en \( [0,1] \) donde \( A \) y \( B \) son cerrados disjuntos de \( X \) y \( d \) es la distancia en el espacio \( X \).

De antemano gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Divide tu demostración en tres pasos:

 1) Probar que la función distancia a un cerrado es continua:

\(  g_A:(X,d)\longrightarrow{}\mathbb{R}^+,\quad g_A(x)=d(x,A) \)

 2) Luego comprueba que la función:

 \( h:\mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+-\{(0,0)\}\longrightarrow [0,1], \quad h(x,y)=\dfrac{x}{x+y} \)

 es continua.

 3) Finalmente ten en cuenta que la composición de continuas es continua y:

\(  f(x)=h(g_A(x),g_B(x)) \)

Saludos.

[hupavi]

Gracias..