[nathan]

Hola me han dejado muchos ejercicios de identificaciòn de la clausura, el interior y la frontera de conjuntos podrian mostrarme un ejemplo de como se procede para que yo pueda hacer los demas, digamos de este ejercicio.
Identificar la clausura, interior, y la frontera del conjunto \( M=\left\{{x:x_1^2+x_2^2\leq{x_3}}\right\} \)

[bryan261]

Hola :

\( $ M = \{ x = ( x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{R} \ / \ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \leq x_3  \ \} = \{ x = ( x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{R} \ / \ f(x_1 , x_2, x_3) \leq 0 \ \} = f^{-1} ( ] + \infty , 0 ] ) $ \)
con : \( $ f(x_1 , x_2 , x_3 ) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_3 $ \) es una funcion continua en \( $ \mathbb{R} $ \) y \( $ ] + \infty , 0 ] $ \) es cerrado ... entonces , \( $ f^{-1} ( ]- \infty ,0] ) $ \) es cerrado ...
Entonces : \( $ M = \overline{M} $ \).
El interior de \( $ M $ \) es : \( $ \mathrm{int} (M) = \{ x = ( x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{R} \ / \ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} < x_3  \ \} $ \) ( intenta demostrarlo )
La frontera de \( $ M $ \) es : \( $ \partial M = \overline{M} \backslash \ \mathrm{int} ( M ) = \{ x = ( x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{R} \ / \ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_3  \ \} $ \) ( intenta demostrarlo )

Un saludo.