Autor Tema: Simétricos

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22 Mayo, 2011, 07:16 pm
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Michel

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Sea ABC un triángulo de área unidad. Sean D el simétrico de C respecto de A, E el simétrico de D respecto de B y F el simétrico de E respecto de C. a) Hallar el área de EFD. b) Demostrar que ABC y CFD son semejantes.

Se ruega la figura.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

23 Mayo, 2011, 05:03 pm
Respuesta #1

Héctor Manuel

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Veamos primero la semejanza:  Como BD=BE y DA=AC, entonces AB es el segmento que une los puntos medios de los lados DC y DE del triàngulo DCE. Por tanto AB=CE/2 y AB es paralelo a CE.  Entonces AB es paralelo a FE.

De la misma forma se tiene que CB es paralelo a FD y CB=FD/2.

Como AC es paralelo a sì mismo, entonces los lados del triángulo ABC son paralelos a los de CFD y de ahì se deduce la semejanza.

Por otra parte:
FDE=DFC+ABC+ABD+CBE...(*)

1) Por la semejanza, \( \displaystyle\frac{FDC}{ABC}=4 \), ya que la razón de semejanza es 2 y ABC=1.

2) ABD=ABC=1, ya que tienen la misma base y la misma altura.

3) EFD=4EBC ya que ambos triàngulos son semejantes y la razòn de semejanza es 2 (la semejanza se sigue de que CE=FE/2 y EB=ED/2).

Sustituyendo en (*): FDE=4+1+1+EFD/4, de donde 3EFD/4=6.   Es decir, EFD=8

Saludos.


23 Mayo, 2011, 06:01 pm
Respuesta #2

Michel

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Hola hector manuel.

Me parece muy bien tu solución.

Te propongo esto: ¿por qué no lo haces siguiendo el orden del enunciado, es decir, hallando primero el área y demostrando después la semejanza?

Me encanta intentar hacer un mismo problema de varias formas. ¿A ti no?

Saludos.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

23 Mayo, 2011, 09:40 pm
Respuesta #3

Héctor Manuel

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Te propongo esto: ¿por qué no lo haces siguiendo el orden del enunciado, es decir, hallando primero el área y demostrando después la semejanza?

Huy!  Eso lo veo más complicado... veamos:

2) ABD=ABC=1, ya que tienen la misma base y la misma altura.

3) EFD=4EBC ya que ambos triàngulos son semejantes y la razòn de semejanza es 2 (la semejanza se sigue de que CE=FE/2 y EB=ED/2).


Esto es cierto sin haber demostrado que ABC y CFD son semejantes.

Por otra parte, \( FCD=\displaystyle\frac{FC*H}{2} \) donde \( H \) es la altura de FCD. Si \( h \) es la altura de EBC desde B, entonces \( \dfrac{H}{h}=\dfrac{ED}{EB}=2 \), de donde \( H=2h \).  Pero también es \( FC=CE \), de modo que \( FCD=\dfrac{CE*2h}{2}=2\left(\dfrac{CE*h}{2}\right)=2CEB=2\displaystyle\frac{EFD}{4}=\displaystyle\frac{EFD}{2} \) (esto último es el (2) de la cita)

Por tanto \( FDE=\displaystyle\frac{FDE}{2}+ABC+ABD+\displaystyle\frac{FDE}{4}=\displaystyle\frac{3}{4}FDE+1+1 \), de donde \( FDE=8 \).

Para la parte (b):

Como BD=BE y DA=AC, entonces AB es el segmento que une los puntos medios de los lados DC y DE del triàngulo DCE. Por tanto AB=CE/2 y AB es paralelo a CE.  Entonces AB es paralelo a FE.

De la misma forma se tiene que CB es paralelo a FD y CB=FD/2.

Como AC es paralelo a sì mismo, entonces los lados del triángulo ABC son paralelos a los de CFD y de ahì se deduce la semejanza.


Listo.

Me encanta intentar hacer un mismo problema de varias formas. ¿A ti no?

Por supuesto.  De hecho te tengo una propuesta.

Saludos.