Autor Tema: Suma constante

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

17 Mayo, 2011, 04:36 pm
Leído 641 veces

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,998
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Dado un triángulo isósceles ABC, con AB = AC, se toma un punto cualquiera P de la base BC. Demostrar que la suma de las distancias de P a los lados iguales del triángulo es constante.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

17 Mayo, 2011, 05:39 pm
Respuesta #1

pepito

  • Lathi
  • Mensajes: 1,618
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea \( d_b \) el segmento que pasa por \( P \) y corta a \( AB \) con un ángulo de \( 90º \), y sea \( b \) el punto de corte entre \( d_b \) y \( AB \).

Sea \( d_c \) el segmento que pasa por \( P \) y corta a \( AC \) con un ángulo de \( 90º \), y sea \( c \) el punto de corte entre \( d_c \) y \( AC \).

Sea \( \alpha=A\hat{B}C=A\hat{C}B \). Se tiene que \( b\hat{P}B=c\hat{P}C=90-\alpha \).

Sea \( d \) el largo del segmento \( PB \), y por lo tanto, \( BC-d \) resulta el largo de \( PC \). Se tiene:

\( d_b+d_c=d\cos(90-\alpha)+(BC-d)\cos(90-\alpha)=BC\cos(90-\alpha) \)

"...parecido pero nada que ver"

17 Mayo, 2011, 10:38 pm
Respuesta #2

dave.jason

  • Novato
  • Mensajes: 130
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Cogemos dos puntos cualquiera del lado BC: B' y C'. Dibujamos las distancias de cada punto a los lados AB y AC, obteniendo los puntos D, E, F y G. Ahora hacemos una paralela a AB por B' y una paralela a AC por C', obteniendo A', H e I.



El objetivo es demostrar que EB'+B'I+IF es igual a DH+HC'+C'G. Puesto que DH=EB' y IF=C'G, únicamente queda demostrar que B'I=HC'.

Por la construcción de A'B'C', sabemos que éste es semejante a ABC, y por tanto también es isósceles. Observamos que B'I y HC' son las alturas del triángulo A'B'C' desde los vértices B' y C'.

Ahora se utiliza una propiedad de los triángulos isósceles, que dice que las alturas desde los extremos del lado desigual miden lo mismo. Por tanto, aplicando tal propiedad al triángulo A'B'C', tenemos que B'I=HC', como queríamos demostrar.

18 Mayo, 2011, 10:12 am
Respuesta #3

Michel

  • Moderador Global
  • Mensajes: 5,998
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Pepito: Sería conveniente que acompañaras la figura.
Bien el problema; quizás falte decir cuál es la constante.

Y bien dave-jason.

Os envío otras dos formas de hacerlo.



En la 1ª figura: PF es paralela a AC.
Los triángulos rectángulos BDP y BFP son iguales (hipotenusa común e igual un ángulo agudo), luego PD=BF.
Además FG=PE
Entonces: PD+PE=BF+FG=BG

En la 2ª figura: AP descompone al triángulo dado en dos triángulos cuyas alturas son PD y PE, si se toman como bases respectivas AB y AC.

área(ABP)+área(APC)=área(ABC)
1/2(AB·PD)+1/2(AC·PE)=1/2(AC·BG)
Como AB=AC, simplificando queda:PD+PE=BG

Saludos
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

18 Mayo, 2011, 07:41 pm
Respuesta #4

administrador

  • Administrador
  • Mensajes: 1,558
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola michel

Me he permitido hacer visibles tus figuras. Cualquier cosa me dices.

Saludos.

18 Mayo, 2011, 07:47 pm
Respuesta #5

pepito

  • Lathi
  • Mensajes: 1,618
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Ahí subí la imagen. Perdón, es que tendría que conseguirme algún software liviano más o menos práctico, porque hacer estos dibujos en paint puede ser muy molesto.

En cuanto al ejercicio, en realidad en mi respuesta doy un resultado numérico de la constante, que de hecho coincide con el suyo. El problema es que no estoy seguro si la trigonometría se incluye dentro de lo que es la geometría sintética. Esa es la complicación que me surge con todos estos ejercicios, no estoy del todo seguro de qué es exactamente lo que estamos dando por supuesto para resolverlos (por ser un total analfabeto en el tema, lo admito), entonces me cuesta decidir cuándo una demostración está completa y cuándo no. ¿Habrá algún libro que pueda consultar?
"...parecido pero nada que ver"