[sohcahtoa]

Hola: tengo que justificar una construcción con regla y compás y no le encuetro la vuelta. Es la división de un segmento en media y extrema razón, esto es: que quede una proporción tal que "el todo es a la mayor parte como esa parte es a lo que queda".
En el archivo adjunto está hecha la construcción: por un extremo del segmento dado (a+b) se traza una perpendicular, luego se traza la la mediatriz del segemnto dado, se traslada (a+b)/2 sobre la perpendicular y se construye una circunferencia de radio (a+b)/2. Se une el centro de la circunferencia con el otro extremo del segmento, y desde dicho extremo se traza una nueva circunferencia tal que sea tangente a la anterior. Así queda dividido el segmento en media y extrema razón, su cociente es:

\( \displaystyle\frac{a+b}{a}=\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2} \) = número de oro

¿Alguien sabe cómo justificar la construcción?

[rubenrosas]

 Mira Sohcahtoa ,habríea que compararlo con la construcción del lado del pentágono regular, a lo mejor allí se indique alguna justificación.Por lo pronto daré una forma
 que se me ocurre: construir (5)^1/2 como hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos que miden dos y uno.A continuación de ése segmento se llevan una unidad.Se tiene representado 1+ (5)^1/2.Se transporta ése segmento sobre un lado de un ángulo
 agudo a partir del vértice V.se obtiene un punto P, se marca a continuación dos unidades,se obtiene Q. (se pueden tomar múltiplos de éstos segmentos).Se transporta
 sobre el otro lado del ángulo a partir del vértice  el segmento a dividir y se obtiene S.Se
 une Q con S y se traza una paralela por P.El segmento VS queda dividido en dos a y b
 que estarán en la razón aurea.(corolario del teorema de Thales)

[Luis Fuentes]

Hola

 Si llamas l a la longitud del segmento. Tienes que encontrar a de manera que:

\(  \displaystyle\frac{l}{a}=\displaystyle\frac{a}{l-a} \)

 es decir:

\(  a^2+al-l^2=0 \)

 En tu construcción tienes un triángulo rectángulo que verifica:

\( l^2+(l/2)^2=(a+l/2)^2 \)

 Simplificando obtienes precisamente la ecuación anterior.

Saludos.

[sohcahtoa]

Excelente manco, no me daba cuenta.

Hasta la próxima.

[rubenrosas]

 MirA Sohcahtoa, te estaba por dar mi explicación atendiendo a la fórmula que contienen raíz cuadrada de cinco,pero lo del manco es más simple y se me adelantó,de cualquier manera fijate en la construcción que propuese y que es distinata,aunque más larga, a todas las otras conocidas.