[rookie]

La función de densidad del tiempo de respuesta de un pedido es \( f(x)=B-(x/8) \) para \( 0<x<4 \) segundos i \( f(x)=0 \) para el resto.

a. Determinar el valor de B.


b. Calcular la proporción de veces que tarda menos de 2 segundos a responder.


c. Calcular la mediana del tiempo de respuesta del programa.

[mathtruco]

Hola rookie,

 por definición, una función para llamarse de densidad debe cumplir con:

(a) ser no negativa.
(b) su integral sobre todo el dominio debe ser 1.

Además, la función de densidad comple con:

\( Pr(a\leq X\leq b)=\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx \)


Te queda encuentrar el valor de \( B \) para que tu función sea de densidad (indicación: usa (b)).


¿Seguro te piden la mediana?  ¿No será la media?.

La media (o esperanza) se define por:

\( E[X]=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty x\; f(x)\; dx \).

Conocido el valor de \( B \), puedes fácilmente calcularla.

Cuéntanos a qué valor llegas.

[rookie]

Creo que no lo entiendo bien, estaría bien decir:

\( Pr(a\leq X\leq b)=\displaystyle\int_a^b f(x)\, dx \)

si \( f(x)=(b)-(x/8) \) para \( 0<x<4 \)

\( Pr(0<x<4)=\displaystyle\int_0^4 (b)-(x/8)\, dx \)

pero aquí no sé como sacar el valor de (b), lo he hecho y me da de resultado 0,5 pero creo que está mal...

[Dogod]

Para que \( f(x) \) sea función de densidad, el valor de la constante \( b \) debe ser tal que:


\( \displaystyle\int_{0}^{4}b - \displaystyle\frac{x}{8}dx = 1\longrightarrow{\displaystyle\int_{0}^{4}b - \displaystyle\frac{x}{8}dx}= 4b -1\longrightarrow{b = \displaystyle\frac{1}{2}} \) .


Ya con esto puedes hallar \( P(x <2). \) Y asimismo la media integrando \( xf(x) \)


Un saludo

[rookie]

Para el apartado b, estaría bien:


\( Pr(0<x<2)=\displaystyle\int_0^2 (1/2)-(x/8)\, dx \)

ahora no se como resolver esto, me puedes ayudar?

[Dogod]

Hola, te refieres a la integral?

\( \displaystyle\int_0^2 (1/2)-(x/8)\, dx = \displaystyle\int_0^2 \displaystyle\frac{1}{2}dx-\displaystyle\int_0^2 \displaystyle\frac{x}{8}\, dx \)=

\( \left\displaystyle\frac{x}{2} \right |_0^2 - \left\displaystyle\frac{x^2}{16}\right |_0^2= 1 -\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{3}{4} \).


Sabes concluir?


Un saludo

[rookie]

Este apartado b, no estaría ya? el resultado es \( \frac{3}{4} \) no?


Para el apartado c, tengo que hacer:

\( E[X]=\displaystyle\int_0^4 x\; \frac{1}{2}-\frac{x}{8}\; dx \)

no?

[Dogod]

Este apartado b, no estaría ya? el resultado es \( \frac{3}{4} \) no?

Sí.

Para el apartado c, tengo que hacer:

\( E[X]=\displaystyle\int_0^4 x\; \frac{1}{2}-\frac{x}{8}\; dx \)

no?

Sí pero cuidado, no es \( \displaystyle\int_0^4 x\; \displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{x}{8}\; dx \) es

\( \displaystyle\int_0^4 x\left( \displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{x}{8}\right) dx \)

Un saludo.

[rookie]

Muchas gracias, 

me puedes ayudar con este (ya lo he puesto como tema, pero nadie me ha podido ayudar):

Ponemos a la venta por internet un prototipo. Tenemos 200 unidades para vender i recibimos 235 reservas de compra. Se sabe que el 20% de las reservas que se hacen no se acaban de materializar. Suponemos que todas las reservas son independientes entre ellas.

a. Si X es la variable aleatoria que nos da el número de reservas que se quieren materializar, cuál es la distribución de X?

b. Cuál es la probabilidad de que nos falte exactamente 1 unidad para satisfacer a todos los clientes?

c. Cuál es la probabilidad de que no podamos satisfacer a todos los clientes?


Como observación me dicen que puedo utilizar el Teorema del límite Central, pero no se como aplicarlo...